Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5384
2017-11-26 
В вертикальную бесконечно длинную трубу радиуса $R$ поместили цилиндрическую капсулу (см. рис.). Масса капсулы распределена по её боковой поверхности. Сила трения между капсулой и стенками трубы прямо пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей. Капсуле придали поступательную скорость, направленную вверх, и, одновременно, закрутили с некоторой угловой скоростью. Когда через некоторое время капсула вернулась в исходное положение, модуль линейной скорости изменился на $V$ по сравнению с первоначальным, а угловая скорость стала равна $W$. Время подъёма с исходной высоты до наивысшей точки отличалось от времени спуска до начального положения на $T$. За всё время дальнейшего спуска по бесконечной трубе капсула повернулась на конечный угол $\alpha$. Какова была максимальная высота подъёма капсулы?
Решение:
Представим движение капсулы как сумму поступательного движения по вертикали и кругового вращательного движения. Основной идеей этой задачи является то, что из-за линейной зависимости силы трения от скорости эти составляющие движения будут независимы. Обозначим через $k$ коэффициент пропорциональности между силой трения и относительной скоростью соприкасающихся поверхностей. Начнём со случая, когда капсула движется вверх. Направим ось Y вверх, по направлению движения, и разобьём всё время движения капсулы на маленькие промежутки $\Delta t$. Учтём, что импульс капсулы в проекции на ось Y меняется благодаря действующим на капсулу импульсам сил (тяжести $mg$ и проекции силы трения $[F_{тp}]_{Y} = kV_{Y}$), т.е.
$(mg + kV_{Y}) \Delta t = m \Delta V_{Y}$.
Просуммируем такие уравнения для всех промежутков времени подъёма капсулы: $mgt_{1} - kH = mV_{1}$, где $t_{1}$ — время, которое капсула двигалась вверх, $V_{1}$ — модуль начальной линейной скорости капсулы, $H$ — максимальная высота подъёма. Теперь просуммируем уравнения (1) от момента максимального подъёма капсулы вплоть до момента, когда она опустилась на первоначальную высоту: $mgt_{2} + kH = V_{2}$, здесь $t_{2}$ — время, которое капсула опускалась, а $V_{2}$ — модуль линейной скорости капсулы при прохождении исходной высоты. Вычитая полученные равенства, получаем $mgT - 2kH = mV$. Отсюда легко выражается $H$, правда, величина $k$ остаётся пока неизвестной. Чтобы найти $k$, выпишем закон изменения суммарного вращательного импульса боковой поверхности (он меняется только благодаря горизонтальной составляющей силы трения $[F_{тp}]_{X} = kV_{X}$) и разделим его на $R, kV_{R} \Delta t/R = m \Delta V_{R}/R$. Учитывая, что $V_{R}/R = \Delta \alpha$ (угол поворота шайбы за рассматриваемый промежуток времени), и то что $\Delta V_{R}/R$ — изменение угловой скорости, несложно просуммировать такие уравнения за всё время спуска капсулы от момента, когда она имела угловую скорость $W$. Получим $k \alpha = mW$, откуда легко выразить неизвестный коэффициент $k$.
Ответ. Максимальная высота, до которой поднялась капсула относительно начальной высоты, равна $H = \alpha (gT - V)/2W$.
В вертикальную бесконечно длинную трубу радиуса $R$ поместили цилиндрическую капсулу (см. рис.). Масса капсулы распределена по её боковой поверхности. Сила трения между капсулой и стенками трубы прямо пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей. Капсуле придали поступательную скорость, направленную вверх, и, одновременно, закрутили с некоторой угловой скоростью. Когда через некоторое время капсула вернулась в исходное положение, модуль линейной скорости изменился на $V$ по сравнению с первоначальным, а угловая скорость стала равна $W$. Время подъёма с исходной высоты до наивысшей точки отличалось от времени спуска до начального положения на $T$. За всё время дальнейшего спуска по бесконечной трубе капсула повернулась на конечный угол $\alpha$. Какова была максимальная высота подъёма капсулы?
Решение:
Представим движение капсулы как сумму поступательного движения по вертикали и кругового вращательного движения. Основной идеей этой задачи является то, что из-за линейной зависимости силы трения от скорости эти составляющие движения будут независимы. Обозначим через $k$ коэффициент пропорциональности между силой трения и относительной скоростью соприкасающихся поверхностей. Начнём со случая, когда капсула движется вверх. Направим ось Y вверх, по направлению движения, и разобьём всё время движения капсулы на маленькие промежутки $\Delta t$. Учтём, что импульс капсулы в проекции на ось Y меняется благодаря действующим на капсулу импульсам сил (тяжести $mg$ и проекции силы трения $[F_{тp}]_{Y} = kV_{Y}$), т.е.
$(mg + kV_{Y}) \Delta t = m \Delta V_{Y}$.
Просуммируем такие уравнения для всех промежутков времени подъёма капсулы: $mgt_{1} - kH = mV_{1}$, где $t_{1}$ — время, которое капсула двигалась вверх, $V_{1}$ — модуль начальной линейной скорости капсулы, $H$ — максимальная высота подъёма. Теперь просуммируем уравнения (1) от момента максимального подъёма капсулы вплоть до момента, когда она опустилась на первоначальную высоту: $mgt_{2} + kH = V_{2}$, здесь $t_{2}$ — время, которое капсула опускалась, а $V_{2}$ — модуль линейной скорости капсулы при прохождении исходной высоты. Вычитая полученные равенства, получаем $mgT - 2kH = mV$. Отсюда легко выражается $H$, правда, величина $k$ остаётся пока неизвестной. Чтобы найти $k$, выпишем закон изменения суммарного вращательного импульса боковой поверхности (он меняется только благодаря горизонтальной составляющей силы трения $[F_{тp}]_{X} = kV_{X}$) и разделим его на $R, kV_{R} \Delta t/R = m \Delta V_{R}/R$. Учитывая, что $V_{R}/R = \Delta \alpha$ (угол поворота шайбы за рассматриваемый промежуток времени), и то что $\Delta V_{R}/R$ — изменение угловой скорости, несложно просуммировать такие уравнения за всё время спуска капсулы от момента, когда она имела угловую скорость $W$. Получим $k \alpha = mW$, откуда легко выразить неизвестный коэффициент $k$.
Ответ. Максимальная высота, до которой поднялась капсула относительно начальной высоты, равна $H = \alpha (gT - V)/2W$.
