Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5383
2017-11-26 
У идеальной пружины нулевой начальной длины один конец закреплён, а к другому концу подвешен точечный груз массы $M$. Пружину растягивают до длины $L$, отводя груз в сторону, так, что угол пружины с горизонталью составляет $\alpha$. Затем груз отпускают. Определить форму и длину траектории груза. Жёсткость пружины $k$, ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Пружина имеет нулевую начальную длину, значит, всё растяжение $L$ является её удлинением. На груз действуют сила упругости пружины $F_{y} = kL$ и сила тяжести $F_{Т} = Mg$. Разложим силу упругости на компоненты вдоль осей (см. рис. 1). Для любого произвольного положения пружины компоненты силы упругости вдоль соответствующей оси пропорциональны координатам тела в данный момент времени. Запишем уравнения движения в проекциях на оси координат и получим два уравнения
$Ma_{X} = - kx, Ma_{Y} = Mg - ky$,
со следующим начальным условием на координаты и скорости: $y(0) = L \sin \alpha , x(0) = L \cos \alpha , V_{Y}(0) = V_{X}(0) = 0$. Решение уравнений движения суть гармонические колебания вблизи положения равновесия $(0, Mg/k)$. Выражение для угловой частоты колебаний тела на пружинке соответствует стандартной формуле, а амплитуды колебаний определяются из начальных условий, так что решение уравнений движения имеет вид
$x(t) = L \cos \alpha \cos \left ( t \sqrt{ \frac{k}{m}} \right ), y(t) = \frac{Mg}{k} + \left ( L \sin \alpha - \frac{Mg}{k} \right ) \cos \left ( t \sqrt{ \frac{k}{M} } \right )$.
Эти равенства задают траекторию движения груза в параметрическом виде. Исключая время из решений, получим явное выражение для траектории $y = Mg/k + x(L \sin \alpha - Mg/k)/L \cos \alpha$. Полученное уравнение задаёт прямую линию. Рассмотрим случай, когда $L \sin \alpha < Mg/k$, в этом случае координата $y$ всегда будет больше нуля. Чтобы определить длину траектории рассмотрим крайние положения груза (точки A и B на рис. 2). Длину этой траектории легко найти, рассматривая треугольник ABC. Убедитесь, что в случае, когда $L \sin \alpha \geq Mg/k$ (если, конечно, ничего не препятствует движению груза) ответ останется таким же.
Ответ. Траектория является отрезком прямой длиной
$2 \sqrt{L^{2} - 2L \sin \alpha \frac{Mg}{k} + \frac{M^{2} g^{2} }{k^{2} } }$.
У идеальной пружины нулевой начальной длины один конец закреплён, а к другому концу подвешен точечный груз массы $M$. Пружину растягивают до длины $L$, отводя груз в сторону, так, что угол пружины с горизонталью составляет $\alpha$. Затем груз отпускают. Определить форму и длину траектории груза. Жёсткость пружины $k$, ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Пружина имеет нулевую начальную длину, значит, всё растяжение $L$ является её удлинением. На груз действуют сила упругости пружины $F_{y} = kL$ и сила тяжести $F_{Т} = Mg$. Разложим силу упругости на компоненты вдоль осей (см. рис. 1). Для любого произвольного положения пружины компоненты силы упругости вдоль соответствующей оси пропорциональны координатам тела в данный момент времени. Запишем уравнения движения в проекциях на оси координат и получим два уравнения
$Ma_{X} = - kx, Ma_{Y} = Mg - ky$,
со следующим начальным условием на координаты и скорости: $y(0) = L \sin \alpha , x(0) = L \cos \alpha , V_{Y}(0) = V_{X}(0) = 0$. Решение уравнений движения суть гармонические колебания вблизи положения равновесия $(0, Mg/k)$. Выражение для угловой частоты колебаний тела на пружинке соответствует стандартной формуле, а амплитуды колебаний определяются из начальных условий, так что решение уравнений движения имеет вид
$x(t) = L \cos \alpha \cos \left ( t \sqrt{ \frac{k}{m}} \right ), y(t) = \frac{Mg}{k} + \left ( L \sin \alpha - \frac{Mg}{k} \right ) \cos \left ( t \sqrt{ \frac{k}{M} } \right )$.
Эти равенства задают траекторию движения груза в параметрическом виде. Исключая время из решений, получим явное выражение для траектории $y = Mg/k + x(L \sin \alpha - Mg/k)/L \cos \alpha$. Полученное уравнение задаёт прямую линию. Рассмотрим случай, когда $L \sin \alpha < Mg/k$, в этом случае координата $y$ всегда будет больше нуля. Чтобы определить длину траектории рассмотрим крайние положения груза (точки A и B на рис. 2). Длину этой траектории легко найти, рассматривая треугольник ABC. Убедитесь, что в случае, когда $L \sin \alpha \geq Mg/k$ (если, конечно, ничего не препятствует движению груза) ответ останется таким же.
Ответ. Траектория является отрезком прямой длиной
$2 \sqrt{L^{2} - 2L \sin \alpha \frac{Mg}{k} + \frac{M^{2} g^{2} }{k^{2} } }$.
