Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5382
2017-11-26 
С гладкого горизонтально расположенного цилиндра радиуса $R$ начинает соскальзывать тонкая однородная верёвка длины $\pi R/2$ (см. рис.). Найдите в начальный момент времени силу натяжения верёвки в точке A, расположенной под углом $\alpha$ к горизонтали (угол $\alpha$ лежит в интервале от 0 до $\pi /2$). Масса верёвки $m$, ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В начальный момент ускорения всех точек верёвки направлены по касательной к цилиндру и равны по модулю. Обозначим ускорение каждой точки верёвки $a$. Пусть с начального момента прошло малое время $t$, на протяжении которого движение можно считать равноускоренным. За это время верёвка сместится на $l = at^{2}/2$ и наберёт скорость $v = at$. Определим уменьшение потенциальной энергии верёвки. С точки зрения положения центра масс, смещение верёвки эквивалентно переносу отрезка длиной $l$ из верхней части верёвки в нижнюю (см. рис.: кусочек из положения 1 перенесли в положение 2). Масса этого отрезка верёвки $\Delta m = ml/(pR/2)$, а уменьшение высоты $R$. Таким образом, изменение потенциальной энергии равно $\Delta mgR = ml /( \pi R/2) gR$. Эта энергия перешла в кинетическую энергию верёвки, $ml/( \pi R/2) gR = mv^{2}/2$. Подставляя сюда выражения для $l$ и $v$, получаем $a = 2 g/ \pi$. Теперь рассмотрим часть верёвки, заключённую между её нижним концом и точкой A. Его масса равна $\Delta M = m \alpha /( \pi /2)$. Кинетическая энергия рассматриваемой части верёвки равна сумме работ силы тяжести и силы натяжения верёвки $T$. Работа силы натяжения отрицательна и равна $ - Tl$, а работа силы тяжести равна уменьшению потенциальной энергии, которое вычисляется аналогично уже рассмотренному изменению потенциальной энергии всей верёвки: в данном случае отрезок верёвки длины $l$ опускается на $R \sin \alpha$. Таким образом, получаем: $\Delta mgR \sin \alpha - Tl = \Delta M v^{2}/2$. Подставляя сюда $\Delta m$ и $\Delta M$, получим окончательно $ml/( \pi R/2) gR \sin \alpha - Tl = m \alpha$ откуда и определяем силу натяжения.
Ответ. Сила натяжения равна $T = ( \sin \alpha - 2 \alpha / \pi) 2mg / \pi$ и обращается в ноль на концах верёвки.
С гладкого горизонтально расположенного цилиндра радиуса $R$ начинает соскальзывать тонкая однородная верёвка длины $\pi R/2$ (см. рис.). Найдите в начальный момент времени силу натяжения верёвки в точке A, расположенной под углом $\alpha$ к горизонтали (угол $\alpha$ лежит в интервале от 0 до $\pi /2$). Масса верёвки $m$, ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В начальный момент ускорения всех точек верёвки направлены по касательной к цилиндру и равны по модулю. Обозначим ускорение каждой точки верёвки $a$. Пусть с начального момента прошло малое время $t$, на протяжении которого движение можно считать равноускоренным. За это время верёвка сместится на $l = at^{2}/2$ и наберёт скорость $v = at$. Определим уменьшение потенциальной энергии верёвки. С точки зрения положения центра масс, смещение верёвки эквивалентно переносу отрезка длиной $l$ из верхней части верёвки в нижнюю (см. рис.: кусочек из положения 1 перенесли в положение 2). Масса этого отрезка верёвки $\Delta m = ml/(pR/2)$, а уменьшение высоты $R$. Таким образом, изменение потенциальной энергии равно $\Delta mgR = ml /( \pi R/2) gR$. Эта энергия перешла в кинетическую энергию верёвки, $ml/( \pi R/2) gR = mv^{2}/2$. Подставляя сюда выражения для $l$ и $v$, получаем $a = 2 g/ \pi$. Теперь рассмотрим часть верёвки, заключённую между её нижним концом и точкой A. Его масса равна $\Delta M = m \alpha /( \pi /2)$. Кинетическая энергия рассматриваемой части верёвки равна сумме работ силы тяжести и силы натяжения верёвки $T$. Работа силы натяжения отрицательна и равна $ - Tl$, а работа силы тяжести равна уменьшению потенциальной энергии, которое вычисляется аналогично уже рассмотренному изменению потенциальной энергии всей верёвки: в данном случае отрезок верёвки длины $l$ опускается на $R \sin \alpha$. Таким образом, получаем: $\Delta mgR \sin \alpha - Tl = \Delta M v^{2}/2$. Подставляя сюда $\Delta m$ и $\Delta M$, получим окончательно $ml/( \pi R/2) gR \sin \alpha - Tl = m \alpha$ откуда и определяем силу натяжения.
Ответ. Сила натяжения равна $T = ( \sin \alpha - 2 \alpha / \pi) 2mg / \pi$ и обращается в ноль на концах верёвки.
