Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5380
2017-11-26 
Гружёный вагон массой $M$, имеющий скорость $V$, сталкивается с двумя пустыми неподвижно стоящими одинаковыми вагонами, соединёнными пружиной жёсткости $k$. Длина недеформированной пружины равна $l$. Чему будет равно расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения? Масса пустого вагона в два раза меньше массы груженого, удар считать кратковременным и абсолютно упругим, трением в системе и массой пружины пренебречь.
Решение:
Поскольку удар кратковременный, можно считать, что за время удара расстояние между вагонами не успевает измениться. Пружина в начальный момент не деформирована, и её присутствие никак не сказывается на скорости вагонов сразу после удара. Мы можем рассматривать отдельно столкновение пустого вагона с груженым вагоном. Запишем законы сохранения импульса и энергии ($M$ и $m$ — массы груженого и пустого вагонов соответственно, $V_{1}$ и $u$ - их скорости): $MV = MV_{1} + mu, MV^{2}/2 = MV_{1}^{2}/2 + mu^{2}/2$. Учитывая, что $m = M/2$, из предыдущих уравнений получим $V_{1} = V/3$ и $u = 4V/3$. Отметим, что сразу после удара скорость первого (испытавшего удар) пустого вагона равна $u$, а скорость второго пустого вагона равна нулю. Благодаря пружине, пустые вагоны будут обмениваться энергией, и начнутся колебания. Однако общий импульс пары вагонов после удара будет постоянен (на пустые вагоны не действуют нескомпенсированные внешние силы) значит и скорость $V_{С}$ движения центра масс пустых вагонов после удара постоянна. Её можно найти из уравнения $mu + 0 = 2m V_{С}$. Отсюда $V_{С} = 2V/3$. Относительно центра масс первый вагон в начальный момент движется со скоростью $2V/3$, а второй — со скоростью $( - 2V/3)$ (см. рис.). Пружина начнёт сжиматься. Найдём период и амплитуду гармонических колебаний пустых вагонов на пружине (рассматриваем движение вагонов в системе центра масс). При смещении каждого вагона на $\Delta x$ общая деформация пружины будет равно $2 \cdot \Delta x$, и следовательно, на каждый вагон со стороны пружины действует сила $F = 2k \Delta x = ma$. Следовательно, период колебаний равен $T = 2 \pi \frac{m}{2k}$. Заметим, что ответ получился такой же, как для периода колебаний тела массой $m$ на пружине жёсткостью $2k$. Дело в том, что середина пружины неподвижна, т. е. каждое тело, фактически, колеблется на пружине половинной длины. С другой стороны, известно, что уменьшение длины пружины в $n$ раз влечёт увеличение её жёсткости во столько же раз. Таким образом, мы получили вполне естественный ответ для $T$. Найдём теперь амплитуду $A$ колебаний вагонов в системе центра масс. Очевидно, максимальное сжатие пружина будет иметь, когда каждый вагон сместится к центру масс на $A$, а сами вагоны остановятся, чтобы начать затем движение в противоположную сторону. При этом (см. рис.) начальная кинетическая энергия системы $2m(2V/3)^{2}/2$ целиком перейдёт в потенциальную энергию пружины $k(2A)^{2}/2$. Приравнивая эти энергии, найдём амплитуду колебаний
$A = \frac{V}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}}$.
Положение первого вагона относительно центра масс в момент времени $t$ будет задаваться расстоянием
$L_{3} = \frac{l}{2} - A \sin \left ( \frac{2 \pi t}{T} \right ) = \frac{l}{2} - \frac{V}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k} } \sin \sqrt{ \frac{2k}{m}} t$.
За время $t$ гружёный вагон пройдёт расстояние $L_{1} = Vt/3$, а центр масс пары пустых вагонов пройдёт расстояние $L_{2} = 2Vt/3$. Теперь легко найти расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения $S = L_{2} - L_{1} - L_{3}$.
Ответ. Расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения равно $S = \frac{V}{3} \left ( t + \sqrt{ \frac{2m}{k}} \sin \sqrt{ \frac{2k}{m} } t \right ) - \frac{l}{2}$.
Гружёный вагон массой $M$, имеющий скорость $V$, сталкивается с двумя пустыми неподвижно стоящими одинаковыми вагонами, соединёнными пружиной жёсткости $k$. Длина недеформированной пружины равна $l$. Чему будет равно расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения? Масса пустого вагона в два раза меньше массы груженого, удар считать кратковременным и абсолютно упругим, трением в системе и массой пружины пренебречь.
Решение:
Поскольку удар кратковременный, можно считать, что за время удара расстояние между вагонами не успевает измениться. Пружина в начальный момент не деформирована, и её присутствие никак не сказывается на скорости вагонов сразу после удара. Мы можем рассматривать отдельно столкновение пустого вагона с груженым вагоном. Запишем законы сохранения импульса и энергии ($M$ и $m$ — массы груженого и пустого вагонов соответственно, $V_{1}$ и $u$ - их скорости): $MV = MV_{1} + mu, MV^{2}/2 = MV_{1}^{2}/2 + mu^{2}/2$. Учитывая, что $m = M/2$, из предыдущих уравнений получим $V_{1} = V/3$ и $u = 4V/3$. Отметим, что сразу после удара скорость первого (испытавшего удар) пустого вагона равна $u$, а скорость второго пустого вагона равна нулю. Благодаря пружине, пустые вагоны будут обмениваться энергией, и начнутся колебания. Однако общий импульс пары вагонов после удара будет постоянен (на пустые вагоны не действуют нескомпенсированные внешние силы) значит и скорость $V_{С}$ движения центра масс пустых вагонов после удара постоянна. Её можно найти из уравнения $mu + 0 = 2m V_{С}$. Отсюда $V_{С} = 2V/3$. Относительно центра масс первый вагон в начальный момент движется со скоростью $2V/3$, а второй — со скоростью $( - 2V/3)$ (см. рис.). Пружина начнёт сжиматься. Найдём период и амплитуду гармонических колебаний пустых вагонов на пружине (рассматриваем движение вагонов в системе центра масс). При смещении каждого вагона на $\Delta x$ общая деформация пружины будет равно $2 \cdot \Delta x$, и следовательно, на каждый вагон со стороны пружины действует сила $F = 2k \Delta x = ma$. Следовательно, период колебаний равен $T = 2 \pi \frac{m}{2k}$. Заметим, что ответ получился такой же, как для периода колебаний тела массой $m$ на пружине жёсткостью $2k$. Дело в том, что середина пружины неподвижна, т. е. каждое тело, фактически, колеблется на пружине половинной длины. С другой стороны, известно, что уменьшение длины пружины в $n$ раз влечёт увеличение её жёсткости во столько же раз. Таким образом, мы получили вполне естественный ответ для $T$. Найдём теперь амплитуду $A$ колебаний вагонов в системе центра масс. Очевидно, максимальное сжатие пружина будет иметь, когда каждый вагон сместится к центру масс на $A$, а сами вагоны остановятся, чтобы начать затем движение в противоположную сторону. При этом (см. рис.) начальная кинетическая энергия системы $2m(2V/3)^{2}/2$ целиком перейдёт в потенциальную энергию пружины $k(2A)^{2}/2$. Приравнивая эти энергии, найдём амплитуду колебаний
$A = \frac{V}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k}}$.
Положение первого вагона относительно центра масс в момент времени $t$ будет задаваться расстоянием
$L_{3} = \frac{l}{2} - A \sin \left ( \frac{2 \pi t}{T} \right ) = \frac{l}{2} - \frac{V}{3} \sqrt{ \frac{2m}{k} } \sin \sqrt{ \frac{2k}{m}} t$.
За время $t$ гружёный вагон пройдёт расстояние $L_{1} = Vt/3$, а центр масс пары пустых вагонов пройдёт расстояние $L_{2} = 2Vt/3$. Теперь легко найти расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения $S = L_{2} - L_{1} - L_{3}$.
Ответ. Расстояние между груженым и ближайшим к нему пустым вагоном через время $t$ после столкновения равно $S = \frac{V}{3} \left ( t + \sqrt{ \frac{2m}{k}} \sin \sqrt{ \frac{2k}{m} } t \right ) - \frac{l}{2}$.
