2014-06-01
Однородный стержень АВ массой $m$ длины $l$ нижним концом опирается о стену и с помощью нити DC удерживается в наклонном наложении (рис.). Нить привязана к стене в точке С а к стержню в точке D, такой, что AD = АВ/З. Углы, составляемые нитью и стержнем со стеной, равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно.
Найдите возможные значения коэффициента трения $\mu$ между стержнем и стеной.
Решение:
На стержень действуют трн силы: сила $T$ натяжения нити, сила тяжести $mg$ и сила реакции со стороны стенки $\bar{R} = \bar{N} +\bar{F}_{тр}$ ($N$ - сила нормальной реакции стенки, $F_{тр}$ - сила трения. $F_{тр} \leq N$).
В состоянии равновесия стержня сумма моментов них сил относительно любой точки
равна нулю. Чтобы это условие выполнялось, линия действия силы $R$ должна проходить через точку пересечения линии действия сил $T$ и $mg$ (моменты сил $T$ и $mg$ относительно этой точки равны нулю).
В зависимости от соотношения между углами $\alpha$ и $\beta$ точка пересечения линий действия сил $T$ и $mg$ может лежать: 1) выше перпендикуляра $AM_{0}$ к степе (точка $M_{1}$ на рис.); 2) ниже этого перпендикуляра (точка $M_{2}$); 3) на нем (точка $M_{0}$). Соответственно сила трения либо направлена вдоль АС вверх ($F_{тр1}$), либо - вдоль АС вниз ($F_{тр2}$), либо равна нулю. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно.
1) Условие равновесия стержня:
$T \cos \alpha + F_{тр1} – mg=0, N- T \sin \alpha = 0$ (1)
- равенство нулю суммы проекций всех сил на оси у и х соответственно; а также равенство моментов сил относительно точки А:
$mgd_{1}$, или $(mgl/2) \sin \beta = (Tl/3) \sin (\alpha + \beta)$, (2)
где $d_{1}$ и $d_{2}$ - плечи сил $mg$ и $T$ соответственно. Из (1) и (2) имеем
$\mu_{1} \geq \frac{F_{тр1}}{N} = \frac{2}{3} \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{1}{tg \: \alpha} = \frac{1}{3} \left ( \frac{2}{tg \: \beta} - \frac{1}{tg \: \alpha} \right )$
этот случай осуществляется при условии $2 tg \: \alpha > tg \: \beta$.
2) Написав условия равновесия, найдем
$\mu_{2} \geq \frac{1}{3} \left (\frac{1}{tg \: \alpha} - \frac{2}{tg \: \beta} \right )$
Этому случаю соответствует условие $2 tg \: \alpha < tg \: \beta$.
3) В этом случае стержень находится в равновесии при любом
значении $\mu_{3}: 2 tg \: \alpha = tg \: \beta $.
Таким образом, при произвольном соотношении между углами $\alpha$ и $\beta$ стержень находится в равновесии, если
$\mu \geq \left | \frac{1}{tg \: \alpha} - \frac{2}{tg \: \beta} \right |$