Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5379
2017-11-26 
Внутри широкой трубки сечением $S_{1}$ и высотой $L_{1}$ может без трения двигаться плотно прилегающая к стенкам пробка высотой $h$, сделанная из материала плотности $\rho_{2}$. К широкой трубке с двух концов присоединена узкая трубка с сечением $S_{2}$ и длиной $L_{2}$. Вся система (см. рис.) полностью заполнена жидкостью плотности $\rho_{1} > \rho_{2}$. В начальный момент пробка и вода неподвижны. Найти начальное ускорение пробки. Вязкостью и сжимаемостью жидкости пренебречь. Все изгибы и переходы трубок считать плавными.
Решение:
Пусть пробка сдвинется на $\Delta y$ вверх. Тогда вода сдвинется на столько же вниз. Изменение потенциальной энергии системы при этом равно $\Delta E_{П} = (m_{2} - m_{1})g \Delta y = ( \rho_{2} - \rho_{1}) S_{1} hg \Delta y$, здесь $m_{2}$ — масса пробки, $m_{1}$ — масса жидкости, которую вытесняет пробка. При сдвиге пробки у системы появится и кинетическая энергия $\Delta E_{К} = m_{2}V^{2}/2 + MV_{1}^{2}/2 + mV_{2}^{2}/2$. Здесь $V$ — скорость движения пробки, $V_{1}$ — скорость движения воды в широкой части трубки, $M$ — её масса, $V_{2}$ — скорость движения воды в узкой части трубки, $m$ — её масса. Выражая $m_{2}, m$ и $M$ через соответствующие плотности и объёмы, имеем $\Delta E_{К} = ( \rho_{2} S_{1} h V^{2} + \rho_{1}S_{1} (L_{1} - h)V_{1}^{2} + \rho_{1} S_{2} L_{2} V_{2}^{2})/2$. Поскольку жидкость практически несжимаема, соотношение скоростей жидкости в широкой и узкой частях трубки можно найти из условия $S_{2} V_{2} = S_{1} V_{1}$. Очевидно, что $V_{1} = V$. Вдобавок, полная энергия в системе не меняется, так как она замкнута, поэтому $\Delta E_{П} + \Delta E_{К} = 0$, следовательно, для скорости движения пробки получим выражение
$V^{2} = \frac{2 ( \rho_{1} - \rho_{2} ) gh \Delta h }{ \rho_{2}h + \rho_{1} (L_{1} - h) + \rho_{1} L_{2}S_{1} / S_{2} }$.
В первый момент сила, действующая на пробку, будет постоянна, значит, движение можно считать равноускоренным. Это позволяет, зная скорость, найти начальное ускорение пробки $a = V^{2}/(2 \Delta y)$. Заметим, что $( \rho_{1} - \rho_{2}) > 0$, поэтому ускорение всегда направлено вверх.
Ответ. Начальное ускорение пробки равно
$a = \frac{ ( \rho_{1} - \rho_{2} )gh}{ \rho_{2}h + \rho_{1} (L_{1} - h) + \rho_{1} L_{2}S_{1} / S_{2} }$.
Внутри широкой трубки сечением $S_{1}$ и высотой $L_{1}$ может без трения двигаться плотно прилегающая к стенкам пробка высотой $h$, сделанная из материала плотности $\rho_{2}$. К широкой трубке с двух концов присоединена узкая трубка с сечением $S_{2}$ и длиной $L_{2}$. Вся система (см. рис.) полностью заполнена жидкостью плотности $\rho_{1} > \rho_{2}$. В начальный момент пробка и вода неподвижны. Найти начальное ускорение пробки. Вязкостью и сжимаемостью жидкости пренебречь. Все изгибы и переходы трубок считать плавными.
Решение:
Пусть пробка сдвинется на $\Delta y$ вверх. Тогда вода сдвинется на столько же вниз. Изменение потенциальной энергии системы при этом равно $\Delta E_{П} = (m_{2} - m_{1})g \Delta y = ( \rho_{2} - \rho_{1}) S_{1} hg \Delta y$, здесь $m_{2}$ — масса пробки, $m_{1}$ — масса жидкости, которую вытесняет пробка. При сдвиге пробки у системы появится и кинетическая энергия $\Delta E_{К} = m_{2}V^{2}/2 + MV_{1}^{2}/2 + mV_{2}^{2}/2$. Здесь $V$ — скорость движения пробки, $V_{1}$ — скорость движения воды в широкой части трубки, $M$ — её масса, $V_{2}$ — скорость движения воды в узкой части трубки, $m$ — её масса. Выражая $m_{2}, m$ и $M$ через соответствующие плотности и объёмы, имеем $\Delta E_{К} = ( \rho_{2} S_{1} h V^{2} + \rho_{1}S_{1} (L_{1} - h)V_{1}^{2} + \rho_{1} S_{2} L_{2} V_{2}^{2})/2$. Поскольку жидкость практически несжимаема, соотношение скоростей жидкости в широкой и узкой частях трубки можно найти из условия $S_{2} V_{2} = S_{1} V_{1}$. Очевидно, что $V_{1} = V$. Вдобавок, полная энергия в системе не меняется, так как она замкнута, поэтому $\Delta E_{П} + \Delta E_{К} = 0$, следовательно, для скорости движения пробки получим выражение
$V^{2} = \frac{2 ( \rho_{1} - \rho_{2} ) gh \Delta h }{ \rho_{2}h + \rho_{1} (L_{1} - h) + \rho_{1} L_{2}S_{1} / S_{2} }$.
В первый момент сила, действующая на пробку, будет постоянна, значит, движение можно считать равноускоренным. Это позволяет, зная скорость, найти начальное ускорение пробки $a = V^{2}/(2 \Delta y)$. Заметим, что $( \rho_{1} - \rho_{2}) > 0$, поэтому ускорение всегда направлено вверх.
Ответ. Начальное ускорение пробки равно
$a = \frac{ ( \rho_{1} - \rho_{2} )gh}{ \rho_{2}h + \rho_{1} (L_{1} - h) + \rho_{1} L_{2}S_{1} / S_{2} }$.
