Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5378
2017-11-26 
Внутри куба вырезана сферическая полость таким образом, что центр сферы находится над центром нижней грани куба. Полость наполовину заполнена жидкостью плотности $\rho_{2}$. Куб очень медленно наклоняют через ребро AA (см. рис.). При каком угле наклона $\alpha$ куб опрокинется? Длина ребра куба в $n$ раз больше радиуса полости $r$, а центр полости расположен на высоте $kr$ над основанием куба, причём $k > n/2$. Плотность вещества куба $\rho_{1}$. Объём полости равен $\frac{4}{3} \pi r^{3}$.
Решение:
Задачу удобнее решать, разбив систему на следующие части: жидкость, целый куб (без полости) плотностью $\rho_{1}$, полость — тело отрицательной массы, плотностью $- \rho_{1}$. Заметим, когда на куб без выреза «накладывают» полость отрицательной массы, в области полости плотность куба $\rho_{1}$ и плотность полости $- \rho_{1}$ компенсируют друг друга, так что получается область с нулевой плотностью. Найдём, где расположены центры тяжести упомянутых частей системы. Если куб наклонять медленно, то поверхность жидкости будет всё время параллельна земле, и, следовательно, центр тяжести жидкости будет лежать на перпендикуляре OF, проходящем через центр полости (см. рис. 1). Центр тяжести полости находится в точке $O, |OD| = kr$, $AC$ — перпендикуляр к плоскости, проведённый через точку опоры A. Центр тяжести целого куба (без выреза) расположен в точке $B, |DB| = n \cdot r/2$. Силы тяжести, действующие на все компоненты системы, изображены на рис. 2. Рассмотрим вращение относительно точки A. Момент силы реакции пола относительно этой точки равен нулю. Куб опрокинется, если момент силы тяжести полости с водой оказывается больше или равен моменту силы тяжести целого куба: $( m_{ж} - |m_{п}|) |NP| \geq m_{к} |BM|$. Отрезок $BM$ — плечо силы тяжести целого куба, $NP$ — плечо силы тяжести полости с жидкостью; $m_{к} = \rho_{1} ( nr)^{3}$ — масса целого куба, $m_{ж} = 2 \pi \rho_{2} r^{3}/3$ — масса жидкости в полости, $|m_{п}| = 4 \pi \rho_{1} r^{3}/3$ — масса полости вырезанной части куба. Осталось найти отношение $|BM| / |MP|$. Из рассмотрения треугольников на рисунке легко получить соотношение для плеч соответствующих сил: $\left | \frac{BM}{NP} \right | = \left | \frac{BN}{NO} \right | = \frac{|DN| - |DB|}{|OD| - |DN|}$. Из треугольника DNA (см. рис. 1) легко найти $|DN| = (nt ctg \alpha )/2$. После подстановки этого соотношения в предыдущее равенство можно найти тригонометрическую функцию угла наклона куба, при котором наступает его опрокидывание
$ctg \alpha \leq \frac{2(m_{ж} - m_{п} )k + m_{к} n }{ n(m_{к} - m_{п} + m_{ж}) }$.
Остаётся только подставить сюда все массы, чтобы получить окончательный ответ.
Ответ. Куб опрокинется, если
$ctg \alpha \leq \frac{4 \pi k / 3n ( \rho_{2} - 2 \rho_{1}) + \rho_{1} n^{3} }{ 2 \pi / 3 ( \rho_{2} - 2 \rho_{1} ) + \rho_{1} n^{3} }$.
Внутри куба вырезана сферическая полость таким образом, что центр сферы находится над центром нижней грани куба. Полость наполовину заполнена жидкостью плотности $\rho_{2}$. Куб очень медленно наклоняют через ребро AA (см. рис.). При каком угле наклона $\alpha$ куб опрокинется? Длина ребра куба в $n$ раз больше радиуса полости $r$, а центр полости расположен на высоте $kr$ над основанием куба, причём $k > n/2$. Плотность вещества куба $\rho_{1}$. Объём полости равен $\frac{4}{3} \pi r^{3}$.
Решение:
Задачу удобнее решать, разбив систему на следующие части: жидкость, целый куб (без полости) плотностью $\rho_{1}$, полость — тело отрицательной массы, плотностью $- \rho_{1}$. Заметим, когда на куб без выреза «накладывают» полость отрицательной массы, в области полости плотность куба $\rho_{1}$ и плотность полости $- \rho_{1}$ компенсируют друг друга, так что получается область с нулевой плотностью. Найдём, где расположены центры тяжести упомянутых частей системы. Если куб наклонять медленно, то поверхность жидкости будет всё время параллельна земле, и, следовательно, центр тяжести жидкости будет лежать на перпендикуляре OF, проходящем через центр полости (см. рис. 1). Центр тяжести полости находится в точке $O, |OD| = kr$, $AC$ — перпендикуляр к плоскости, проведённый через точку опоры A. Центр тяжести целого куба (без выреза) расположен в точке $B, |DB| = n \cdot r/2$. Силы тяжести, действующие на все компоненты системы, изображены на рис. 2. Рассмотрим вращение относительно точки A. Момент силы реакции пола относительно этой точки равен нулю. Куб опрокинется, если момент силы тяжести полости с водой оказывается больше или равен моменту силы тяжести целого куба: $( m_{ж} - |m_{п}|) |NP| \geq m_{к} |BM|$. Отрезок $BM$ — плечо силы тяжести целого куба, $NP$ — плечо силы тяжести полости с жидкостью; $m_{к} = \rho_{1} ( nr)^{3}$ — масса целого куба, $m_{ж} = 2 \pi \rho_{2} r^{3}/3$ — масса жидкости в полости, $|m_{п}| = 4 \pi \rho_{1} r^{3}/3$ — масса полости вырезанной части куба. Осталось найти отношение $|BM| / |MP|$. Из рассмотрения треугольников на рисунке легко получить соотношение для плеч соответствующих сил: $\left | \frac{BM}{NP} \right | = \left | \frac{BN}{NO} \right | = \frac{|DN| - |DB|}{|OD| - |DN|}$. Из треугольника DNA (см. рис. 1) легко найти $|DN| = (nt ctg \alpha )/2$. После подстановки этого соотношения в предыдущее равенство можно найти тригонометрическую функцию угла наклона куба, при котором наступает его опрокидывание
$ctg \alpha \leq \frac{2(m_{ж} - m_{п} )k + m_{к} n }{ n(m_{к} - m_{п} + m_{ж}) }$.
Остаётся только подставить сюда все массы, чтобы получить окончательный ответ.
Ответ. Куб опрокинется, если
$ctg \alpha \leq \frac{4 \pi k / 3n ( \rho_{2} - 2 \rho_{1}) + \rho_{1} n^{3} }{ 2 \pi / 3 ( \rho_{2} - 2 \rho_{1} ) + \rho_{1} n^{3} }$.
