Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5377
2017-11-26 
Две звезды одинаковой массы вращаются вокруг общего центра масс по круговой орбите. В некоторый момент времени одна из звёзд вспыхивает как сверхновая и сбрасывает оболочку массы $\Delta M$. При каком $\Delta M$ звёздная система распадётся (звёзды смогут удалиться друг от друга на бесконечное расстояние)? Считайте, что оболочка сбрасывается сферически симметрично, и сброшенная масса моментально покидает систему.
Решение:
Обозначим радиус орбиты через $R$. Тогда расстояние между звёздами $2R$. Скорость вращения звёзд $u$ можно найти из условия, что сила гравитационного притяжения звёзд друг к другу обеспечивает центростремительное ускорение при движении по круговой орбите:
$\frac{GM^{2} }{4R^{2}} = \frac{ Mu^{2} }{R} \Rightarrow u = \sqrt{ \frac{GM}{4R} }$.
Заметим, что механическая энергия $E_{М}$ рассматриваемой системы отрицательна, ведь, чтобы развести притягивающиеся тела бесконечно далеко друг от друга, где они перестают взаимодействовать (где их потенциальная энергия равна нулю), нужно совершить положительную работу. Потенциальная энергия равна $E_{П} = - \frac{ GM^{2}}{R}$ (вспомним аналогичное выражение для энергии притягивающихся зарядов $q$ и $- q$ в электростатике, $E_{П} = - \frac{ kq^{2}}{R}$). Для суммы кинетических энергий обеих звёзд и потенциальной энергии их взаимодействия имеем:
$E_{М} = 2 \frac{Mu^{2} }{2} - \frac{GM^{2} }{2R} = 2 \frac{M}{2} \frac{GM}{4R} - \frac{GM^{2} }{2R} = - \frac{ GM^{2} }{4R}$.
При исчезновении оболочки кинетическая энергия системы уменьшится на $\Delta E_{К} = - \Delta M u^{2} /2 = - GM \Delta M/8R$. Потенциальная энергия системы возрастёт (она отрицательна, а её абсолютная величина уменьшится), её изменение будет равно $\Delta E_{П} = GM \Delta M /2R$. Система распадётся, если её энергия станет равна нулю (действительно, при этом для того, чтобы расстояние между звёздами стало очень большим, нужно совершить нулевую работу). В результате получаем неравенство: $\Delta E_{П} + \Delta E_{К} \geq | E_{М} |$, из которого следует, что звёздная система распадётся, если $\Delta M \geq 2/3 M$.
Ответ. Система двух звёзд одинаковой массы распадётся, если масса оболочки, сброшенной одной из них, превосходит 2/3 массы звезды.
Две звезды одинаковой массы вращаются вокруг общего центра масс по круговой орбите. В некоторый момент времени одна из звёзд вспыхивает как сверхновая и сбрасывает оболочку массы $\Delta M$. При каком $\Delta M$ звёздная система распадётся (звёзды смогут удалиться друг от друга на бесконечное расстояние)? Считайте, что оболочка сбрасывается сферически симметрично, и сброшенная масса моментально покидает систему.
Решение:
Обозначим радиус орбиты через $R$. Тогда расстояние между звёздами $2R$. Скорость вращения звёзд $u$ можно найти из условия, что сила гравитационного притяжения звёзд друг к другу обеспечивает центростремительное ускорение при движении по круговой орбите:
$\frac{GM^{2} }{4R^{2}} = \frac{ Mu^{2} }{R} \Rightarrow u = \sqrt{ \frac{GM}{4R} }$.
Заметим, что механическая энергия $E_{М}$ рассматриваемой системы отрицательна, ведь, чтобы развести притягивающиеся тела бесконечно далеко друг от друга, где они перестают взаимодействовать (где их потенциальная энергия равна нулю), нужно совершить положительную работу. Потенциальная энергия равна $E_{П} = - \frac{ GM^{2}}{R}$ (вспомним аналогичное выражение для энергии притягивающихся зарядов $q$ и $- q$ в электростатике, $E_{П} = - \frac{ kq^{2}}{R}$). Для суммы кинетических энергий обеих звёзд и потенциальной энергии их взаимодействия имеем:
$E_{М} = 2 \frac{Mu^{2} }{2} - \frac{GM^{2} }{2R} = 2 \frac{M}{2} \frac{GM}{4R} - \frac{GM^{2} }{2R} = - \frac{ GM^{2} }{4R}$.
При исчезновении оболочки кинетическая энергия системы уменьшится на $\Delta E_{К} = - \Delta M u^{2} /2 = - GM \Delta M/8R$. Потенциальная энергия системы возрастёт (она отрицательна, а её абсолютная величина уменьшится), её изменение будет равно $\Delta E_{П} = GM \Delta M /2R$. Система распадётся, если её энергия станет равна нулю (действительно, при этом для того, чтобы расстояние между звёздами стало очень большим, нужно совершить нулевую работу). В результате получаем неравенство: $\Delta E_{П} + \Delta E_{К} \geq | E_{М} |$, из которого следует, что звёздная система распадётся, если $\Delta M \geq 2/3 M$.
Ответ. Система двух звёзд одинаковой массы распадётся, если масса оболочки, сброшенной одной из них, превосходит 2/3 массы звезды.
