Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5373
2017-11-26 
Два одинаковых цилиндрических проводника, изготовлены так, что удельное сопротивление материала линейно изменяется вдоль цилиндров ($\rho = kL$, где $\rho$ — удельное сопротивление проводника в данной точке, $k$ — известный постоянный коэффициент, $L$ — расстояние от начала проводника до данной точки). Проводники соединены параллельно так, что у одного удельное сопротивление возрастает справа налево, а у другого —наоборот —слева направо (см. рис.). Эта схема подключена к источнику постоянного напряжения $U_{0}$. Что показывает идеальный вольтметр, соединяющий середины этих проводников?
Решение:
Сопротивление очень короткого участка цилиндра длины $\Delta L$ с удельным сопротивлением $\rho$ выражается формулой $\Delta R = \rho \Delta L/S$, где $S$ — площадь сечения цилиндра. Разность потенциалов на выбранном участке цилиндра, очевидно, $\Delta \phi = I \Delta R = IkL \Delta L/S$. Просуммировать разности потенциалов $\Delta \phi$, чтобы найти разность потенциалов на концах цилиндров $\phi (L)$, можно, заметив, что это площадь под графиком функции $f(L) = IkL/S$ (действительно, для выбранного участка цилиндра разность потенциалов численно равна заштрихованному кусочку под графиком на рисунке. При этом, вследствие малости величины $\Delta L$, отличием формы заштрихованного кусочка от прямоугольника можно пренебречь. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $L$ и $IkL/S$ и соответствует искомой разности потенциалов). Возможно также воспользоваться полной формальной аналогией с равноускоренным движением тела ($L$ аналогично времени $t$, постоянный множитель $Ik/S$ — ускорению $a$, выражение $f(L) = IkL/S$ — мгновенной скорости $V(t) = at$, искомая величина $\phi$ — координате тела $x$. Очевидно, $x = at^{2}/2 \Rightarrow \phi = IkL^{2}/(2S)$). Итак, если потенциал начала стержня принять за ноль, потенциал на расстоянии $L$ от начала будет $\phi = IkL^{2}/(2S)$. Собственно, в этой задаче нам нужен только факт пропорциональности потенциала квадрату расстояния от начала стержня $\phi \sim L^{2}$. Так как разность потенциалов между концами цилиндра $\phi (L) \sim L^{2} = U_{0}$, очевидно, разность потенциалов между началом и серединой цилиндра будет равна $\phi (L/2) = U_{0}/4$. Второй стержень включён в противоположном направлении, так что разность потенциалов между концом второго стержня и его серединой по-прежнему равна $U_{0}/4$, значит, середина второго стержня будет, очевидно иметь потенциал $[U_{0} - (U_{0}/4)]$. Итак, разность потенциалов, между серединами противоположно подключённых стержней составит $[U_{0} - (U_{0}/4)] - U_{0}/4 = U_{0}/2$.
Ответ. Показания идеального вольтметра будут равны $U_{0}/2$.
Два одинаковых цилиндрических проводника, изготовлены так, что удельное сопротивление материала линейно изменяется вдоль цилиндров ($\rho = kL$, где $\rho$ — удельное сопротивление проводника в данной точке, $k$ — известный постоянный коэффициент, $L$ — расстояние от начала проводника до данной точки). Проводники соединены параллельно так, что у одного удельное сопротивление возрастает справа налево, а у другого —наоборот —слева направо (см. рис.). Эта схема подключена к источнику постоянного напряжения $U_{0}$. Что показывает идеальный вольтметр, соединяющий середины этих проводников?
Решение:
Сопротивление очень короткого участка цилиндра длины $\Delta L$ с удельным сопротивлением $\rho$ выражается формулой $\Delta R = \rho \Delta L/S$, где $S$ — площадь сечения цилиндра. Разность потенциалов на выбранном участке цилиндра, очевидно, $\Delta \phi = I \Delta R = IkL \Delta L/S$. Просуммировать разности потенциалов $\Delta \phi$, чтобы найти разность потенциалов на концах цилиндров $\phi (L)$, можно, заметив, что это площадь под графиком функции $f(L) = IkL/S$ (действительно, для выбранного участка цилиндра разность потенциалов численно равна заштрихованному кусочку под графиком на рисунке. При этом, вследствие малости величины $\Delta L$, отличием формы заштрихованного кусочка от прямоугольника можно пренебречь. Площадь прямоугольного треугольника с катетами $L$ и $IkL/S$ и соответствует искомой разности потенциалов). Возможно также воспользоваться полной формальной аналогией с равноускоренным движением тела ($L$ аналогично времени $t$, постоянный множитель $Ik/S$ — ускорению $a$, выражение $f(L) = IkL/S$ — мгновенной скорости $V(t) = at$, искомая величина $\phi$ — координате тела $x$. Очевидно, $x = at^{2}/2 \Rightarrow \phi = IkL^{2}/(2S)$). Итак, если потенциал начала стержня принять за ноль, потенциал на расстоянии $L$ от начала будет $\phi = IkL^{2}/(2S)$. Собственно, в этой задаче нам нужен только факт пропорциональности потенциала квадрату расстояния от начала стержня $\phi \sim L^{2}$. Так как разность потенциалов между концами цилиндра $\phi (L) \sim L^{2} = U_{0}$, очевидно, разность потенциалов между началом и серединой цилиндра будет равна $\phi (L/2) = U_{0}/4$. Второй стержень включён в противоположном направлении, так что разность потенциалов между концом второго стержня и его серединой по-прежнему равна $U_{0}/4$, значит, середина второго стержня будет, очевидно иметь потенциал $[U_{0} - (U_{0}/4)]$. Итак, разность потенциалов, между серединами противоположно подключённых стержней составит $[U_{0} - (U_{0}/4)] - U_{0}/4 = U_{0}/2$.
Ответ. Показания идеального вольтметра будут равны $U_{0}/2$.
