Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5370
2017-11-26 
К тряпичному мешку с солью массой $M = 490 кг$ привязан пробковый поплавок объёмом $V = 0,1 м^{3}$. Мешок поместили в резервуар и залили $V_{1} = 1 м^{3}$ воды. Известно, что при фиксированной температуре в одном литре воды может раствориться не более $k$ грамм соли. График зависимости $k$ от температуры приведён на рис. Какое количество теплоты необходимо сообщить системе, чтобы мешок всплыл, если её начальная температура $t_{0} = 15^{ \circ} C$? Считать, что в процессе растворения соли в воде уровень жидкости в резервуаре не меняется. Тепловыделением при растворении соли пренебречь. Плотности и теплоёмкости воды, пробки и соли считать известными.
Решение:
Обозначим плотности воды, пробки и соли $\rho_{0}, \rho_{п}$ и $\rho$ соответственно. Пусть при некоторой температуре растворимость соли равна $k$. Определим плотность насыщенного раствора соли при этой температуре. Рассмотрим некоторый объём воды $V_{1}$. Масса соли в граммах, которая может раствориться в этой воде, равна $kV_{1}$. Тогда масса раствора будет равна $\rho_{0} V_{1} + kV_{1}$. Поскольку уровень жидкости в резервуаре при растворении соли не меняется, объём раствора равен сумме объёмов воды и соли $V_{1} + k V_{1} / \rho$. Таким образом, плотность насыщенного раствора равна $\rho_{р} = ( \rho_{0} + k)/(1 + k/ \rho)$. Теперь запишем условие всплытия мешка. Рассмотрим силы, действующие на систему «мешок с солью + поплавок». Часть соли из мешка (массой $kV_{1}$) растворяется, увеличивая плотность жидкости и уменьшая массу мешка с солью. Сила тяжести, действующая на систему, состоит из веса пробки и веса нерастворившейся соли и равна $F_{Т} = \rho_{1} Vg + (M - k V_{1})g$. Архимедова сила действует на пробку и мешок и равна $F_{A} = \rho_{р} gV + \rho_{р} g(M - kV_{1})/ \rho$. Поэтому условие всплытия мешка суть $F_{т} = F_{A}$, которое после, подстановки туда всех известных величин, приобретает вид
$\rho_{п} gV + (M - kV_{1})g = \frac{ \rho ( \rho_{0} + k )}{ \rho + k} g \left [ V + \frac{ M - k V_{1}}{ \rho} \right ]$.
Выражая из этого уравнения $k$ и подставляя численные значения величин, получаем, что $k = 330 г/л$. По графику находим температуру, при которой соль имеет растворимость 330 г/л. Эта температура равна $18^{ \circ} C$, поэтому систему надо нагреть на $\Delta T = 3^{ \circ} C$. Вводя теплоёмкости воды, пробки исоли $c_{0}, c_{п}$ и $c$ соответственно, легко получаем ответ.
Ответ. Теплота, необходимая для всплытия мешка, равна $Q = \Delta T (c_{п} \rho_{п} V + c_{0} \rho_{0} V_{1} + cM) = 13,9 МДж$.
К тряпичному мешку с солью массой $M = 490 кг$ привязан пробковый поплавок объёмом $V = 0,1 м^{3}$. Мешок поместили в резервуар и залили $V_{1} = 1 м^{3}$ воды. Известно, что при фиксированной температуре в одном литре воды может раствориться не более $k$ грамм соли. График зависимости $k$ от температуры приведён на рис. Какое количество теплоты необходимо сообщить системе, чтобы мешок всплыл, если её начальная температура $t_{0} = 15^{ \circ} C$? Считать, что в процессе растворения соли в воде уровень жидкости в резервуаре не меняется. Тепловыделением при растворении соли пренебречь. Плотности и теплоёмкости воды, пробки и соли считать известными.
Решение:
Обозначим плотности воды, пробки и соли $\rho_{0}, \rho_{п}$ и $\rho$ соответственно. Пусть при некоторой температуре растворимость соли равна $k$. Определим плотность насыщенного раствора соли при этой температуре. Рассмотрим некоторый объём воды $V_{1}$. Масса соли в граммах, которая может раствориться в этой воде, равна $kV_{1}$. Тогда масса раствора будет равна $\rho_{0} V_{1} + kV_{1}$. Поскольку уровень жидкости в резервуаре при растворении соли не меняется, объём раствора равен сумме объёмов воды и соли $V_{1} + k V_{1} / \rho$. Таким образом, плотность насыщенного раствора равна $\rho_{р} = ( \rho_{0} + k)/(1 + k/ \rho)$. Теперь запишем условие всплытия мешка. Рассмотрим силы, действующие на систему «мешок с солью + поплавок». Часть соли из мешка (массой $kV_{1}$) растворяется, увеличивая плотность жидкости и уменьшая массу мешка с солью. Сила тяжести, действующая на систему, состоит из веса пробки и веса нерастворившейся соли и равна $F_{Т} = \rho_{1} Vg + (M - k V_{1})g$. Архимедова сила действует на пробку и мешок и равна $F_{A} = \rho_{р} gV + \rho_{р} g(M - kV_{1})/ \rho$. Поэтому условие всплытия мешка суть $F_{т} = F_{A}$, которое после, подстановки туда всех известных величин, приобретает вид
$\rho_{п} gV + (M - kV_{1})g = \frac{ \rho ( \rho_{0} + k )}{ \rho + k} g \left [ V + \frac{ M - k V_{1}}{ \rho} \right ]$.
Выражая из этого уравнения $k$ и подставляя численные значения величин, получаем, что $k = 330 г/л$. По графику находим температуру, при которой соль имеет растворимость 330 г/л. Эта температура равна $18^{ \circ} C$, поэтому систему надо нагреть на $\Delta T = 3^{ \circ} C$. Вводя теплоёмкости воды, пробки исоли $c_{0}, c_{п}$ и $c$ соответственно, легко получаем ответ.
Ответ. Теплота, необходимая для всплытия мешка, равна $Q = \Delta T (c_{п} \rho_{п} V + c_{0} \rho_{0} V_{1} + cM) = 13,9 МДж$.
