Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 537
2014-06-01 
Невесомый стержень длиной $l$ с небольшим грузом массой $m$ на конце шарнирно закреплен в точке А (рис.) и находится в строго вертикальном положении, касаясь при этом тела массой $M$. От небольшого толчка система приходит в движение.
При каком отношении масс $M/m$ стержень в момент отрыва от тела будет составлять с горизонтом угол $\alpha = \pi / 6$? Чему будет равна в этот момент скорость и тела? Трением пренебречь.
Решение:
До тех пор пока груз касается тела, скорость последнего равна горизонтальной составляющей скорости груза, а ускорение тела равно горизонтальной составляющей ускорения груза.
Пусть $a$ - полное ускорение груза, тогда можно написать: $a= a_{t}+a_{ц}$, где $v$ - центростремительное ускорение груза при его движении по окружности радиуса $l$, т. е. $a_{ц}=v^{2}/l$, где $v$ - скорость груза (рис.). Горизонтальная составляющая ускорения груза равна
$a_{г} = a_{t} \sin \alpha – (v^{2}/l) \cos \alpha$.
С таким ускорением движется и тело. Напишем уравнение движения тела:
$N=M a_{г} = M a_{t} \sin \alpha – M (v^{2}/l) \cos \alpha$.
где $N$ - сила нормального давления на тело со стороны груза. В момент отрыва груза $N=0$ и
$a_{t} \sin \alpha = (v^{2}/l) \cos \alpha$.
Ускорение $a_{t}$ в момент отрыва сообщается грузу только силой тяжести:
$a_{t}= g \cos \alpha$.
Таким образом, скорость груза в момент отрыва равна
$v = \sqrt{gl \sin \alpha}$,
а скорость тела в тот же момент
$u = v \sin \alpha = \sin \alpha \sqrt{gl \sin \alpha}$.
Согласно закону сохранения энергии,
$mgl = mgl \sin \alpha + mv^{2}/2 + Mv^{2} \sin^{2} \alpha /2$.
Подставив в это равенство найденное выражение для $v$ в момент отрыва и значение $\sin \alpha = \sin \pi/6 = 1/2$, найдем отношение $M/m$:
$M/m= (2-3 \sin \alpha) / \sin^{3} \alpha = 4$.
Скорость тела в момент отрыва груза равна
$u = v \sin \alpha = (1/2) \sqrt{gl/2}$.
Невесомый стержень длиной $l$ с небольшим грузом массой $m$ на конце шарнирно закреплен в точке А (рис.) и находится в строго вертикальном положении, касаясь при этом тела массой $M$. От небольшого толчка система приходит в движение.
При каком отношении масс $M/m$ стержень в момент отрыва от тела будет составлять с горизонтом угол $\alpha = \pi / 6$? Чему будет равна в этот момент скорость и тела? Трением пренебречь.
Решение:
До тех пор пока груз касается тела, скорость последнего равна горизонтальной составляющей скорости груза, а ускорение тела равно горизонтальной составляющей ускорения груза.
Пусть $a$ - полное ускорение груза, тогда можно написать: $a= a_{t}+a_{ц}$, где $v$ - центростремительное ускорение груза при его движении по окружности радиуса $l$, т. е. $a_{ц}=v^{2}/l$, где $v$ - скорость груза (рис.). Горизонтальная составляющая ускорения груза равна
$a_{г} = a_{t} \sin \alpha – (v^{2}/l) \cos \alpha$.
С таким ускорением движется и тело. Напишем уравнение движения тела:
$N=M a_{г} = M a_{t} \sin \alpha – M (v^{2}/l) \cos \alpha$.
где $N$ - сила нормального давления на тело со стороны груза. В момент отрыва груза $N=0$ и
$a_{t} \sin \alpha = (v^{2}/l) \cos \alpha$.
Ускорение $a_{t}$ в момент отрыва сообщается грузу только силой тяжести:
$a_{t}= g \cos \alpha$.
Таким образом, скорость груза в момент отрыва равна
$v = \sqrt{gl \sin \alpha}$,
а скорость тела в тот же момент
$u = v \sin \alpha = \sin \alpha \sqrt{gl \sin \alpha}$.
Согласно закону сохранения энергии,
$mgl = mgl \sin \alpha + mv^{2}/2 + Mv^{2} \sin^{2} \alpha /2$.
Подставив в это равенство найденное выражение для $v$ в момент отрыва и значение $\sin \alpha = \sin \pi/6 = 1/2$, найдем отношение $M/m$:
$M/m= (2-3 \sin \alpha) / \sin^{3} \alpha = 4$.
Скорость тела в момент отрыва груза равна
$u = v \sin \alpha = (1/2) \sqrt{gl/2}$.
