Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5369
2017-11-26 
Тело массой $m = 70 кг$ сброшено с большой высоты. По графику зависимости скорости тела от времени (см. рис., ось скорости на графике не проградуирована) определите тепловую мощность, выделявшуюся из-за трения о воздух в моменты времени $t_{1} = 5 сек$ и $t_{2} = 18 сек$.
Решение:
Прежде всего, проградуируем ось скоростей. В начальный момент скорость тела равна нулю — равна нулю и сила трения о воздух, поэтому тело двигается лишь под действием силы тяжести и его ускорение равно $g$. Проведём касательную к графику в точке $t = 0$. Её наклон равен, как следует из измерения по графику, 2 дел/сек, но, с другой стороны, он же должен быть равен $g = 10 м/сек^{2}$. Значит, каждое деление на оси скоростей соответствует 5 м/сек. Проще определить тепловую мощность, выделяющуюся в момент времени $t_{2} = 18 сек$. К этому моменту скорость тела практически перестаёт изменяться — сила трения компенсирует силу тяжести $mg$. Скорость тела определяется из графика и равна $V_{2} = 50 м/сек$. Выделяющаяся тепловая мощность равна мощности силы трения $P_{тр} = F_{тр} V_{2} = mg V_{2} = 35 кВт$. Чтобы определить мощность, выделяющуюся в момент времени $t_{1} = 5 сек$, запишем второй закон Ньютона для тела: $ma = mg - F_{тр}^{ \prime}$,где $a$ и $F_{тр}^{ \prime}$, соответственно, ускорение и сила трения в этот момент времени. Скорость тела равна $V_{1} = 38 м/сек$. Ускорение можно определить по наклону касательной в данной точке, оно равно $a = 4,2 м/сек^{2}$. Выделяющаяся тепловая мощность равна $P = F_{тр}^{ \prime} V_{1} = m(g - a) V_{1} = 15,5 кВт$. Формулу для выделяющейся тепловой мощности можно получить и другим способом с помощью закона сохранения энергии. Рассмотрим короткий промежуток времени $\Delta t$, за который скорость тела изменилась с $v$ до $(v + \Delta v)$, а высота — с $h$ до $h - \Delta h$. Если бы трения не было, полная механическая энергия системы $(mv^{2}/2 + mgh)$ сохранялась бы. Из-за трения механическая энергия превращается в тепло, значит выделившееся за $\Delta t$ тепло равно уменьшению механической энергии системы: $\Delta Q = E_{Н} - E_{К} = m[v^{2} - (v + \Delta v)^{2}]/2 + mg \Delta h = - m (2v \Delta v + ( \Delta v)^{2})/2 + mg \Delta h$. Изменение скорости $\Delta v$ за рассматриваемый малый промежуток времени $\Delta t$ достаточно мало, чтобы можно было пренебречь слагаемым $( \Delta v)^{2}$ по сравнению с $2v \Delta v$, поэтому $\Delta Q \cong - mv \Delta v + mg \Delta h$. Тепловая мощность — это, по определению, $P = \Delta Q/ \Delta t = - mv \Delta v/ \Delta t + mg \Delta h/ \Delta t = - mva + mgv = m(g - a) v$. При выводе использованы формулы для мгновенной скорости $v = \Delta h/ \Delta t$ и ускорения $a = \Delta v/ \Delta t$.
Ответ. Тепловая мощность, выделявшаяся из-за трения о воздух в моменты времени $t_{1} = 5 сек$ и $t_{2} = 18 сек$ равны 15,5 кВт и 35 кВт соответственно.
Тело массой $m = 70 кг$ сброшено с большой высоты. По графику зависимости скорости тела от времени (см. рис., ось скорости на графике не проградуирована) определите тепловую мощность, выделявшуюся из-за трения о воздух в моменты времени $t_{1} = 5 сек$ и $t_{2} = 18 сек$.
Решение:
Прежде всего, проградуируем ось скоростей. В начальный момент скорость тела равна нулю — равна нулю и сила трения о воздух, поэтому тело двигается лишь под действием силы тяжести и его ускорение равно $g$. Проведём касательную к графику в точке $t = 0$. Её наклон равен, как следует из измерения по графику, 2 дел/сек, но, с другой стороны, он же должен быть равен $g = 10 м/сек^{2}$. Значит, каждое деление на оси скоростей соответствует 5 м/сек. Проще определить тепловую мощность, выделяющуюся в момент времени $t_{2} = 18 сек$. К этому моменту скорость тела практически перестаёт изменяться — сила трения компенсирует силу тяжести $mg$. Скорость тела определяется из графика и равна $V_{2} = 50 м/сек$. Выделяющаяся тепловая мощность равна мощности силы трения $P_{тр} = F_{тр} V_{2} = mg V_{2} = 35 кВт$. Чтобы определить мощность, выделяющуюся в момент времени $t_{1} = 5 сек$, запишем второй закон Ньютона для тела: $ma = mg - F_{тр}^{ \prime}$,где $a$ и $F_{тр}^{ \prime}$, соответственно, ускорение и сила трения в этот момент времени. Скорость тела равна $V_{1} = 38 м/сек$. Ускорение можно определить по наклону касательной в данной точке, оно равно $a = 4,2 м/сек^{2}$. Выделяющаяся тепловая мощность равна $P = F_{тр}^{ \prime} V_{1} = m(g - a) V_{1} = 15,5 кВт$. Формулу для выделяющейся тепловой мощности можно получить и другим способом с помощью закона сохранения энергии. Рассмотрим короткий промежуток времени $\Delta t$, за который скорость тела изменилась с $v$ до $(v + \Delta v)$, а высота — с $h$ до $h - \Delta h$. Если бы трения не было, полная механическая энергия системы $(mv^{2}/2 + mgh)$ сохранялась бы. Из-за трения механическая энергия превращается в тепло, значит выделившееся за $\Delta t$ тепло равно уменьшению механической энергии системы: $\Delta Q = E_{Н} - E_{К} = m[v^{2} - (v + \Delta v)^{2}]/2 + mg \Delta h = - m (2v \Delta v + ( \Delta v)^{2})/2 + mg \Delta h$. Изменение скорости $\Delta v$ за рассматриваемый малый промежуток времени $\Delta t$ достаточно мало, чтобы можно было пренебречь слагаемым $( \Delta v)^{2}$ по сравнению с $2v \Delta v$, поэтому $\Delta Q \cong - mv \Delta v + mg \Delta h$. Тепловая мощность — это, по определению, $P = \Delta Q/ \Delta t = - mv \Delta v/ \Delta t + mg \Delta h/ \Delta t = - mva + mgv = m(g - a) v$. При выводе использованы формулы для мгновенной скорости $v = \Delta h/ \Delta t$ и ускорения $a = \Delta v/ \Delta t$.
Ответ. Тепловая мощность, выделявшаяся из-за трения о воздух в моменты времени $t_{1} = 5 сек$ и $t_{2} = 18 сек$ равны 15,5 кВт и 35 кВт соответственно.
