Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5367
2017-11-26 
Утюг устроен следующим образом: его нагреватель выключается, если температура утюга становится больше некоторой температуры $t_{2}$, и включается, как только его температура падает ниже $t_{1}$ (эти температуры неизвестны). Если включённый утюг стоит с открытой металлической поверхностью, его нагреватель работает в среднем $k = 1/4$ всего времени. При этом мощность теплоотдачи можно считать постоянной. Если утюгом начинают гладить, то промежуток времени между последовательными моментами включения нагревателя становится в $n = 4/3$ раза меньше. В этом случае мощность теплоотдачи также остаётся постоянной. Какую часть времени он работает в среднем во втором случае?
Решение:
Когда утюг включён в сеть, его нагреватель периодически включается и выключается. Пусть мощность нагревателя $P$, а мощность, отдаваемая утюгом в окружающее пространство, равна $P_{1}$ и $P_{2}$ в первом и втором случае соответственно. Обозначим время, в течение которого нагреватель включён и выключен как $t_{вкл1}$ и $t_{выклl}$ в первом случае и $t_{вкл2}$ и $t_{выкл2}$ во втором случае. Тогда $(P - P_{1}) t_{вкл1} = P_{1} t_{выкл1} = (P - P_{2} )t_{вкл2} = P_{2} t_{выкл2} = Q$, где $Q = C(t_{2} - t_{1})$($C$ — теплоёмкость утюга) — количество теплоты, необходимое для нагрева утюга от температуры $t_{1}$ до температуры $t_{2}$. Из условия известно, что в первом случае утюг работает $k = 1/4$ всего времени, т.е. $k = t_{вклl}/ ( t_{вкл1} + t_{выклl})$. Также известно, что во втором случае время между последовательными моментами включения нагревателя в $n = 4/3$ раза меньше, $t_{вклl} + t_{выклl} = n (t_{вкл2} + t_{выкл2})$. Этой системы уравнений достаточно для решения задачи. Обозначим искомую долю времени $k_{2}, k_{2} = t_{вкл2}/(t_{вкл2} + t_{выкл2})$. Тогда из $(P - P_{1}) t_{вкл1} = P_{1} t_{выклl}$ следует $(P - P_{1})k = P_{1}(1 - k)$ и $P_{1} = k_{1}P$, и аналогично $P_{2} = k_{2}P$. Из вышеприведённых уравнений следует, что $t_{вкл1} /k = nt_{вкл2}/k_{2}$. Подставляя это выражение в соотношение $(P - P_{1})t_{вкл1} = (P - P_{2})t_{вкл2}$, получаем $(P - P_{1})k = (P - P_{2})k_{2}/n$, откуда $nk(1 - k) = k_{2}(1 - k_{2})$. Решение этого квадратного уравнения $k_{2} =1/2$.
Ответ. Нагреватель утюга будет работать в течение половины времени.
Утюг устроен следующим образом: его нагреватель выключается, если температура утюга становится больше некоторой температуры $t_{2}$, и включается, как только его температура падает ниже $t_{1}$ (эти температуры неизвестны). Если включённый утюг стоит с открытой металлической поверхностью, его нагреватель работает в среднем $k = 1/4$ всего времени. При этом мощность теплоотдачи можно считать постоянной. Если утюгом начинают гладить, то промежуток времени между последовательными моментами включения нагревателя становится в $n = 4/3$ раза меньше. В этом случае мощность теплоотдачи также остаётся постоянной. Какую часть времени он работает в среднем во втором случае?
Решение:
Когда утюг включён в сеть, его нагреватель периодически включается и выключается. Пусть мощность нагревателя $P$, а мощность, отдаваемая утюгом в окружающее пространство, равна $P_{1}$ и $P_{2}$ в первом и втором случае соответственно. Обозначим время, в течение которого нагреватель включён и выключен как $t_{вкл1}$ и $t_{выклl}$ в первом случае и $t_{вкл2}$ и $t_{выкл2}$ во втором случае. Тогда $(P - P_{1}) t_{вкл1} = P_{1} t_{выкл1} = (P - P_{2} )t_{вкл2} = P_{2} t_{выкл2} = Q$, где $Q = C(t_{2} - t_{1})$($C$ — теплоёмкость утюга) — количество теплоты, необходимое для нагрева утюга от температуры $t_{1}$ до температуры $t_{2}$. Из условия известно, что в первом случае утюг работает $k = 1/4$ всего времени, т.е. $k = t_{вклl}/ ( t_{вкл1} + t_{выклl})$. Также известно, что во втором случае время между последовательными моментами включения нагревателя в $n = 4/3$ раза меньше, $t_{вклl} + t_{выклl} = n (t_{вкл2} + t_{выкл2})$. Этой системы уравнений достаточно для решения задачи. Обозначим искомую долю времени $k_{2}, k_{2} = t_{вкл2}/(t_{вкл2} + t_{выкл2})$. Тогда из $(P - P_{1}) t_{вкл1} = P_{1} t_{выклl}$ следует $(P - P_{1})k = P_{1}(1 - k)$ и $P_{1} = k_{1}P$, и аналогично $P_{2} = k_{2}P$. Из вышеприведённых уравнений следует, что $t_{вкл1} /k = nt_{вкл2}/k_{2}$. Подставляя это выражение в соотношение $(P - P_{1})t_{вкл1} = (P - P_{2})t_{вкл2}$, получаем $(P - P_{1})k = (P - P_{2})k_{2}/n$, откуда $nk(1 - k) = k_{2}(1 - k_{2})$. Решение этого квадратного уравнения $k_{2} =1/2$.
Ответ. Нагреватель утюга будет работать в течение половины времени.
