Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5366
2017-11-26 
Для заполнения проточного бассейна можно использовать два крана, дающих одинаковый поток воды: с горячей и тёплой водой. Температура горячей воды $Т_{1} = 70^{ \circ} C$, температура тёплой воды $T_{2} = 40^{ \circ} C$. При испытаниях бассейна заметили, что если открыть только кран с горячей водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться $T_{1}^{ \prime} = 50^{ \circ} C$. Если же открыть только кран с тёплой водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться $T_{2}^{ \prime} = 30^{ \circ} C$. Определите, какая температура установится в бассейне, если открыть оба крана. Считайте, что поток тепла от воды прямо пропорционален разности температур воды и окружающей среды, а установившийся уровень воды в бассейне одинаков во всех трёх случаях.
Решение:
По условию, мощность теплоотдачи из бассейна пропорциональна разности температур воды и окружающей среды: $P = \alpha \Delta t$. Теплоотдача обуславливается тем, что поступающая в бассейн вода теплее, чем вытекающая. Обозначим массу воды, поступающей в единицу времени в бассейн из одного крана, $\mu$. Тогда приток тепла в единицу времени равен $P = c \mu (t_{in} - t_{out})$($c$ — теплоёмкость воды, $t_{in}$ и $t_{out}$ — температура втекающей и вытекающей воды). Таким образом, можно записать уравнения баланса для ситуаций, когда открыт кран только с горячей или только с тёплой водой: $\alpha (T_{1}^{ \prime} - T_{0}) = c \mu (T_{1} - T_{1}^{ \prime} )$ и $\alpha (T_{2}^{ \prime} - T_{0}) = c \mu (T_{2} - T_{2}^{ \prime})$. Здесь $T_{0}$ — температура окружающей среды. Поделим уравнения друг на друга: $\frac{T_{1}^{ \prime} - T_{0}}{T_{2}^{ \prime} - T_{0}} = \frac{T_{1} - T_{1}^{ \prime}}{T_{2} - T_{2}^{ \prime}}$. Из этого уравнения можно найти $T_{0} = \frac{T_{1}T_{2}^{ \prime} - T_{1}^{ \prime} T_{2}}{(T_{1} - T_{1}^{ \prime}) - (T_{2} - T_{2}^{ \prime})} = 10^{ \circ} C$. Обозначим температуру, которая установится в бассейне, если открыть оба крана, $T$. Она удовлетворяет соотношению $\alpha (T - T_{0}) = c \mu (T_{1} - T) + c \mu (T_{2} - T)$. Разделив это на первое уравнение, получим: $\frac{T - T_{0}}{T_{1}^{ \prime} - T_{0}} = \frac{T_{1} + T_{2} + 2T}{T_{1} - T_{1}^{ \prime}}$. Откуда находим и температуру, установившуюся в бассейне:
$T = \frac{T_{1}^{ \prime} (T_{1} + T_{2} - T_{0}) - T_{0}T_{2}}{T_{1} + T_{1}^{ \prime} - 2T_{0}} = \frac{T_{1}T_{1}^{ \prime} - T_{2}T_{2}^{ \prime}}{(T_{1} + T_{1}^{ \prime}) - (T_{2} + T_{2}^{ \prime})}$.
Ответ. Если открыть оба крана, в бассейне установится температура $46^{ \circ} C$.
Для заполнения проточного бассейна можно использовать два крана, дающих одинаковый поток воды: с горячей и тёплой водой. Температура горячей воды $Т_{1} = 70^{ \circ} C$, температура тёплой воды $T_{2} = 40^{ \circ} C$. При испытаниях бассейна заметили, что если открыть только кран с горячей водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться $T_{1}^{ \prime} = 50^{ \circ} C$. Если же открыть только кран с тёплой водой, установившаяся температура воды в бассейне будет равняться $T_{2}^{ \prime} = 30^{ \circ} C$. Определите, какая температура установится в бассейне, если открыть оба крана. Считайте, что поток тепла от воды прямо пропорционален разности температур воды и окружающей среды, а установившийся уровень воды в бассейне одинаков во всех трёх случаях.
Решение:
По условию, мощность теплоотдачи из бассейна пропорциональна разности температур воды и окружающей среды: $P = \alpha \Delta t$. Теплоотдача обуславливается тем, что поступающая в бассейн вода теплее, чем вытекающая. Обозначим массу воды, поступающей в единицу времени в бассейн из одного крана, $\mu$. Тогда приток тепла в единицу времени равен $P = c \mu (t_{in} - t_{out})$($c$ — теплоёмкость воды, $t_{in}$ и $t_{out}$ — температура втекающей и вытекающей воды). Таким образом, можно записать уравнения баланса для ситуаций, когда открыт кран только с горячей или только с тёплой водой: $\alpha (T_{1}^{ \prime} - T_{0}) = c \mu (T_{1} - T_{1}^{ \prime} )$ и $\alpha (T_{2}^{ \prime} - T_{0}) = c \mu (T_{2} - T_{2}^{ \prime})$. Здесь $T_{0}$ — температура окружающей среды. Поделим уравнения друг на друга: $\frac{T_{1}^{ \prime} - T_{0}}{T_{2}^{ \prime} - T_{0}} = \frac{T_{1} - T_{1}^{ \prime}}{T_{2} - T_{2}^{ \prime}}$. Из этого уравнения можно найти $T_{0} = \frac{T_{1}T_{2}^{ \prime} - T_{1}^{ \prime} T_{2}}{(T_{1} - T_{1}^{ \prime}) - (T_{2} - T_{2}^{ \prime})} = 10^{ \circ} C$. Обозначим температуру, которая установится в бассейне, если открыть оба крана, $T$. Она удовлетворяет соотношению $\alpha (T - T_{0}) = c \mu (T_{1} - T) + c \mu (T_{2} - T)$. Разделив это на первое уравнение, получим: $\frac{T - T_{0}}{T_{1}^{ \prime} - T_{0}} = \frac{T_{1} + T_{2} + 2T}{T_{1} - T_{1}^{ \prime}}$. Откуда находим и температуру, установившуюся в бассейне:
$T = \frac{T_{1}^{ \prime} (T_{1} + T_{2} - T_{0}) - T_{0}T_{2}}{T_{1} + T_{1}^{ \prime} - 2T_{0}} = \frac{T_{1}T_{1}^{ \prime} - T_{2}T_{2}^{ \prime}}{(T_{1} + T_{1}^{ \prime}) - (T_{2} + T_{2}^{ \prime})}$.
Ответ. Если открыть оба крана, в бассейне установится температура $46^{ \circ} C$.
