Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5365
2017-11-26 
В чайнике нагревают воду кипятильником, подключённым к источнику постоянного напряжения $U$. Масса воды равна $m$, а её удельная теплоёмкость $c$. Начальная температура воды $T_{0}$. Через какое время вода закипит? Всеми потерями тепла и неоднородностью нагревания воды пренебречь. Электрическое сопротивление кипятильника зависит от температуры линейно: $R = R_{0} + \alpha T$, где $\alpha$ и $R_{0}$ — постоянные величины.
Решение:
Поскольку температура $T$ в процессе меняется, а значит, меняются электрическое сопротивление $R$ и выделяемая нагревателем мощность $P$, надо рассмотреть маленький промежуток времени $\Delta t$, за который температура не успевает заметно измениться. Приравняв выделившуюся энергию $P \Delta t = U^{2} \Delta t/(R_{0} + \alpha T)$ к энергии, необходимой для нагревания, $cm \Delta T$, мы можем связать малое приращение времени $\Delta t$ с малым приращением температуры $\Delta T$:
$\Delta t = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \Delta T + \frac{v \alpha}{U^{2}} T \Delta T$.
Время закипания воды $t$ (нагрева от $T_{0}$ до $T_{К}$) можно найти из этого (вообще говоря, дифференциального) уравнения, связывающего приращения функции и её аргумента разными способами.
1 способ. Заметим, что отношение $V = \Delta t/ \Delta T$ даёт выражение для тангенса угла наклона в касательной в точке кривой, отображающей зависимость времени нагрева $t$ от температуры $T$ (см. рисунок). Рассмотрим движение некоего гипотетического тела вдоль одной прямой, такое, что величина $t$ играет роль координаты тела, а величина $T$ — времени. Величина $V$ здесь будет играть роль скорости движения. Линейный характер зависимости $V$ от $T$ указывает на то, что рассмотренное гипотетическое движение является равноускоренным и кривая $t(T)$ является параболой. Поэтому можно воспользоваться аналогией с кинематической задачей о равноускоренном движении.
2 способ. В настоящем решении мы проведём явное интегрирование последнего уравнения путём суммирования всех приращений времени нагрева $\delta t$. Для этого разобьём интересующий нас интервал температур $T_{К} - T_{0} = N \delta T$ на очень большое число $N$ одинаковых маленьких промежутков температуры $\delta T$. Вода нагреется от начальной температуры $T_{0}$ до температуры $T_{0} + \delta T$ за время:
$\delta t_{1} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \delta T + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \delta T$.
В течение следующего промежутка времени вода разогреется от $T_{0} + \delta T$ до $T_{0} + 2 \delta T$ и т.д. Очевидно, что время $t$ нагрева воды до температуры $N \delta T$ равно сумме всех промежутков времени $\delta t_{n}$:
$\delta t_{2} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \delta T + \frac{c \alpha}{U^{2}} (T_{0} + \delta T) \delta T$.
Арифметическая прогрессия во втором слагаемом последнего равенства даёт:
$t = \sum_{n=1}^{N} \delta t_{n} = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (N \delta T) + \frac{c \alpha}{U^{2}} (1 + 2 + \cdots + N) \delta T^{2}$.
Очень большое число $N$ компенсирует малость интервала $\delta T$ в произведении $(N \delta T)$ и в его квадрате $(N \delta T)^{2}$. По сравнению с ними число $N \delta T^{2}$ — очень мало, им можно пренебречь, что и сделано в последнем выражении. В итоге, получим
$(1 + 2 + \cdots + N) \delta T^{2} = \frac{N(N + 1)}{2} \delta T^{2} = \frac{N^{2}}{2} \delta T^{2} + \frac{N}{2} \delta T^{2} \cong \frac{N^{2}}{2} \delta T^{2}$.
Итак, время нагрева воды на $N \delta T = T_{К} - T_{0}$ получается из последнего равенства:
$t = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (N \delta T) + \frac{c \alpha}{2U^{2}} (N \delta T)^{2}$.
Ответ. Время нагрева воды от начальной температуры до температуры кипения равно
$t = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (T_{К} - T_{0}) + \frac{c \alpha}{ 2U^{2}} (T_{К} - T_{0})^{2} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} (T_{К} - T_{0}) + \frac{c \alpha}{2U^{2}} (T_{К}^{2} - T_{0}^{2})$.
В чайнике нагревают воду кипятильником, подключённым к источнику постоянного напряжения $U$. Масса воды равна $m$, а её удельная теплоёмкость $c$. Начальная температура воды $T_{0}$. Через какое время вода закипит? Всеми потерями тепла и неоднородностью нагревания воды пренебречь. Электрическое сопротивление кипятильника зависит от температуры линейно: $R = R_{0} + \alpha T$, где $\alpha$ и $R_{0}$ — постоянные величины.
Решение:
Поскольку температура $T$ в процессе меняется, а значит, меняются электрическое сопротивление $R$ и выделяемая нагревателем мощность $P$, надо рассмотреть маленький промежуток времени $\Delta t$, за который температура не успевает заметно измениться. Приравняв выделившуюся энергию $P \Delta t = U^{2} \Delta t/(R_{0} + \alpha T)$ к энергии, необходимой для нагревания, $cm \Delta T$, мы можем связать малое приращение времени $\Delta t$ с малым приращением температуры $\Delta T$:
$\Delta t = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \Delta T + \frac{v \alpha}{U^{2}} T \Delta T$.
Время закипания воды $t$ (нагрева от $T_{0}$ до $T_{К}$) можно найти из этого (вообще говоря, дифференциального) уравнения, связывающего приращения функции и её аргумента разными способами.
1 способ. Заметим, что отношение $V = \Delta t/ \Delta T$ даёт выражение для тангенса угла наклона в касательной в точке кривой, отображающей зависимость времени нагрева $t$ от температуры $T$ (см. рисунок). Рассмотрим движение некоего гипотетического тела вдоль одной прямой, такое, что величина $t$ играет роль координаты тела, а величина $T$ — времени. Величина $V$ здесь будет играть роль скорости движения. Линейный характер зависимости $V$ от $T$ указывает на то, что рассмотренное гипотетическое движение является равноускоренным и кривая $t(T)$ является параболой. Поэтому можно воспользоваться аналогией с кинематической задачей о равноускоренном движении.
2 способ. В настоящем решении мы проведём явное интегрирование последнего уравнения путём суммирования всех приращений времени нагрева $\delta t$. Для этого разобьём интересующий нас интервал температур $T_{К} - T_{0} = N \delta T$ на очень большое число $N$ одинаковых маленьких промежутков температуры $\delta T$. Вода нагреется от начальной температуры $T_{0}$ до температуры $T_{0} + \delta T$ за время:
$\delta t_{1} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \delta T + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \delta T$.
В течение следующего промежутка времени вода разогреется от $T_{0} + \delta T$ до $T_{0} + 2 \delta T$ и т.д. Очевидно, что время $t$ нагрева воды до температуры $N \delta T$ равно сумме всех промежутков времени $\delta t_{n}$:
$\delta t_{2} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} \delta T + \frac{c \alpha}{U^{2}} (T_{0} + \delta T) \delta T$.
Арифметическая прогрессия во втором слагаемом последнего равенства даёт:
$t = \sum_{n=1}^{N} \delta t_{n} = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (N \delta T) + \frac{c \alpha}{U^{2}} (1 + 2 + \cdots + N) \delta T^{2}$.
Очень большое число $N$ компенсирует малость интервала $\delta T$ в произведении $(N \delta T)$ и в его квадрате $(N \delta T)^{2}$. По сравнению с ними число $N \delta T^{2}$ — очень мало, им можно пренебречь, что и сделано в последнем выражении. В итоге, получим
$(1 + 2 + \cdots + N) \delta T^{2} = \frac{N(N + 1)}{2} \delta T^{2} = \frac{N^{2}}{2} \delta T^{2} + \frac{N}{2} \delta T^{2} \cong \frac{N^{2}}{2} \delta T^{2}$.
Итак, время нагрева воды на $N \delta T = T_{К} - T_{0}$ получается из последнего равенства:
$t = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (N \delta T) + \frac{c \alpha}{2U^{2}} (N \delta T)^{2}$.
Ответ. Время нагрева воды от начальной температуры до температуры кипения равно
$t = \left ( \frac{cmR_{0}}{U^{2}} + \frac{c \alpha}{U^{2}} T_{0} \right ) (T_{К} - T_{0}) + \frac{c \alpha}{ 2U^{2}} (T_{К} - T_{0})^{2} = \frac{cmR_{0}}{U^{2}} (T_{К} - T_{0}) + \frac{c \alpha}{2U^{2}} (T_{К}^{2} - T_{0}^{2})$.
