Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5364
2017-11-26 
Наклонная плоскость имеет угол $\alpha$ с горизонталью (см. рис.). По ней запускают вверх под углом $\beta$ к горизонтали две цилиндрические шайбы, массой $m$ каждая, лежащие точно одна на другой (по центру). Коэффициент трения между шайбами $\mu$, а между нижней шайбой и плоскостью $\mu_{0}$. Какова сила, с которой действует верхняя шайба на нижнюю шайбу в верхней точке их траектории, если $\mu$ достаточно, чтобы шайбы не проскальзывали друг по другу? Может ли начаться такое проскальзывание, если его не было сначала?
Решение:
Задачу удобно решать, направив ось Oz перпендикулярно плоскости, ось Oy — вниз по плоскости, ось Ox — вдоль плоскости перпендикулярно оси Oy. Сила нормальной реакции плоскости, действующая на обе шайбы, рассматриваемые как целое, равна проекции силы тяжести на ось $z: N = 2mg \cos \alpha$. Так как шайбы скользят, модуль силы трения достигает величины $F_{тр} = \mu_{0} N$, а её направление противоположно направлению скорости. Ускорение шайб определяется по второму закону Ньютона, $2m \vec{a} = 2m \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{N}$. В верхней точке траектории вектор силы трения (как и вектор скорости) горизонтален, поэтому ускорение имеет компоненты $a_{B_{x}} = \mu_{0} g \cos \alpha , a_{B_{y}} = g \sin \alpha, a_{B_{z}} = 0$. Для верхней шайбы второй закон Ньютона можно записать в виде $\vec{F}_{12} = m \vec{a} - m \vec{g}$, где $\vec{F}_{12}$ сила, действующая на верхнюю шайбу со стороны нижней. Сила тяжести имеет следующие проекции на выбранные оси:
$mg_{x} = 0, mg_{y} = mg \sin \alpha, mg_{z} = mg \cos \alpha$.
Рассматривая векторное уравнение для силы $\vec{F}_{12}$ в проекции на оси и подставляя в него $ma$ и $mg$, можно заметить, что в любой (и в верхней тоже) точке траектории сила, действующая между шайбами, определяется только силой трения, поскольку силы вдоль оси Oy скомпенсированы («невесомость» для тела, «летящего по параболе» в плоскости под действием «ускорения свободного падения» $g \sin \alpha$). Как следствие, сила $| \vec{F}_{12} |$ постоянна по величине,
$F_{12} = mg \sqrt{1 + \mu_{0}^{2}} \cos \alpha$,
в любой точке траектории. Постоянна по величине и её составляющая в плоскости движения. Значит, если верхняя шайба не проскользнула по нижней сразу, она не проскользнёт по ней до конца.
Ответ. Верхняя шайба действует на нижнюю с постоянной по величине силой $F_{12} = mg \sqrt{1 + \mu_{0}^{2}} \cos \alpha$. Проскальзывание не может начаться, если его нет с самого начала.
Наклонная плоскость имеет угол $\alpha$ с горизонталью (см. рис.). По ней запускают вверх под углом $\beta$ к горизонтали две цилиндрические шайбы, массой $m$ каждая, лежащие точно одна на другой (по центру). Коэффициент трения между шайбами $\mu$, а между нижней шайбой и плоскостью $\mu_{0}$. Какова сила, с которой действует верхняя шайба на нижнюю шайбу в верхней точке их траектории, если $\mu$ достаточно, чтобы шайбы не проскальзывали друг по другу? Может ли начаться такое проскальзывание, если его не было сначала?
Решение:
Задачу удобно решать, направив ось Oz перпендикулярно плоскости, ось Oy — вниз по плоскости, ось Ox — вдоль плоскости перпендикулярно оси Oy. Сила нормальной реакции плоскости, действующая на обе шайбы, рассматриваемые как целое, равна проекции силы тяжести на ось $z: N = 2mg \cos \alpha$. Так как шайбы скользят, модуль силы трения достигает величины $F_{тр} = \mu_{0} N$, а её направление противоположно направлению скорости. Ускорение шайб определяется по второму закону Ньютона, $2m \vec{a} = 2m \vec{g} + \vec{F}_{тр} + \vec{N}$. В верхней точке траектории вектор силы трения (как и вектор скорости) горизонтален, поэтому ускорение имеет компоненты $a_{B_{x}} = \mu_{0} g \cos \alpha , a_{B_{y}} = g \sin \alpha, a_{B_{z}} = 0$. Для верхней шайбы второй закон Ньютона можно записать в виде $\vec{F}_{12} = m \vec{a} - m \vec{g}$, где $\vec{F}_{12}$ сила, действующая на верхнюю шайбу со стороны нижней. Сила тяжести имеет следующие проекции на выбранные оси:
$mg_{x} = 0, mg_{y} = mg \sin \alpha, mg_{z} = mg \cos \alpha$.
Рассматривая векторное уравнение для силы $\vec{F}_{12}$ в проекции на оси и подставляя в него $ma$ и $mg$, можно заметить, что в любой (и в верхней тоже) точке траектории сила, действующая между шайбами, определяется только силой трения, поскольку силы вдоль оси Oy скомпенсированы («невесомость» для тела, «летящего по параболе» в плоскости под действием «ускорения свободного падения» $g \sin \alpha$). Как следствие, сила $| \vec{F}_{12} |$ постоянна по величине,
$F_{12} = mg \sqrt{1 + \mu_{0}^{2}} \cos \alpha$,
в любой точке траектории. Постоянна по величине и её составляющая в плоскости движения. Значит, если верхняя шайба не проскользнула по нижней сразу, она не проскользнёт по ней до конца.
Ответ. Верхняя шайба действует на нижнюю с постоянной по величине силой $F_{12} = mg \sqrt{1 + \mu_{0}^{2}} \cos \alpha$. Проскальзывание не может начаться, если его нет с самого начала.
