Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5362
2017-11-26 
Дачнику надо сдвинуть бетонную плиту, имеющую коэффициент трения о грунт $\mu$. Для этого он использует верёвку длиной $L$ с коэффициентом жёсткости $k$ — привязывает её (не натягивая) к дереву на расстоянии $L$ от плиты, и прикладывает затем к середине верёвки силу, перпендикулярную самой верёвке. Какова максимальная масса плиты, которую он может сдвинуть таким способом, если его собственная максимальная сила равна $F$? Размером узлов и провисанием верёвки в ненатянутом состоянии можно пренебречь, считать, что верёвка растягивается слабо. Есть ли дополнительный выигрыш, если верёвку вначале натянуть с силой?
Решение:
Пусть $\alpha$ — малый угол между канатом, оттянутым в сторону, и канатом в нерастянутом состоянии (см. рис., вид сверху). Растяжение каната тогда выражается как $\delta L = L/ \cos \alpha - L = 2L \sin^{2} ( \alpha /2 ) / \cos \alpha$. При малых углах $\alpha$ справедливо $\cos \alpha \cong 1, \sin ( \alpha /2 ) \cong \alpha /2$, так что $\delta L \cong L \alpha^{2}/2$. Сила натяжения каната получается тогда равной $T = k \delta L \cong k L \alpha^{2}/2$. Её можно связать с силой $F$ с помощью условия равновесия каната в точке приложения силы $F = 2T \sin \alpha = 2T \alpha$. Получившаяся система двух уравнений легко разрешается относительно $T$ и $\alpha$. Получим $T = \frac{F}{2} \sqrt[3]{ \frac{kL}{F}}$.
Чтобы плита поехала, значение силы натяжения должно сравняться с силой трения плиты, $T = \mu mg$. Отсюда сразу получаем ответ для максимальной массы плиты. Добавочная сила натяжения увеличивает возможную массу. Первое уравнение принимает вид $T = T_{0} + kL \alpha^{2}/2$, так что в уравнении для $\alpha$ будем иметь $T_{0} + \frac{kL \alpha^{2}}{2} = \frac{2F}{ \alpha}$. Видно, что $\alpha$, получаемое из второго уравнения, меньше, чем из первого. Значит, достигаемая сила натяжения $T = F/2 \alpha$ станет больше, и появится возможность тащить плиту большей массы.
Ответ. Максимальная масса плиты, которую может сдвинуть человек, прикладывая к ней силу $F$ есть $m = (F^{2} kL)^{1/3}/2 \mu g$. Начальное натяжение каната с силой даёт небольшой выигрыш.
Дачнику надо сдвинуть бетонную плиту, имеющую коэффициент трения о грунт $\mu$. Для этого он использует верёвку длиной $L$ с коэффициентом жёсткости $k$ — привязывает её (не натягивая) к дереву на расстоянии $L$ от плиты, и прикладывает затем к середине верёвки силу, перпендикулярную самой верёвке. Какова максимальная масса плиты, которую он может сдвинуть таким способом, если его собственная максимальная сила равна $F$? Размером узлов и провисанием верёвки в ненатянутом состоянии можно пренебречь, считать, что верёвка растягивается слабо. Есть ли дополнительный выигрыш, если верёвку вначале натянуть с силой?
Решение:
Пусть $\alpha$ — малый угол между канатом, оттянутым в сторону, и канатом в нерастянутом состоянии (см. рис., вид сверху). Растяжение каната тогда выражается как $\delta L = L/ \cos \alpha - L = 2L \sin^{2} ( \alpha /2 ) / \cos \alpha$. При малых углах $\alpha$ справедливо $\cos \alpha \cong 1, \sin ( \alpha /2 ) \cong \alpha /2$, так что $\delta L \cong L \alpha^{2}/2$. Сила натяжения каната получается тогда равной $T = k \delta L \cong k L \alpha^{2}/2$. Её можно связать с силой $F$ с помощью условия равновесия каната в точке приложения силы $F = 2T \sin \alpha = 2T \alpha$. Получившаяся система двух уравнений легко разрешается относительно $T$ и $\alpha$. Получим $T = \frac{F}{2} \sqrt[3]{ \frac{kL}{F}}$.
Чтобы плита поехала, значение силы натяжения должно сравняться с силой трения плиты, $T = \mu mg$. Отсюда сразу получаем ответ для максимальной массы плиты. Добавочная сила натяжения увеличивает возможную массу. Первое уравнение принимает вид $T = T_{0} + kL \alpha^{2}/2$, так что в уравнении для $\alpha$ будем иметь $T_{0} + \frac{kL \alpha^{2}}{2} = \frac{2F}{ \alpha}$. Видно, что $\alpha$, получаемое из второго уравнения, меньше, чем из первого. Значит, достигаемая сила натяжения $T = F/2 \alpha$ станет больше, и появится возможность тащить плиту большей массы.
Ответ. Максимальная масса плиты, которую может сдвинуть человек, прикладывая к ней силу $F$ есть $m = (F^{2} kL)^{1/3}/2 \mu g$. Начальное натяжение каната с силой даёт небольшой выигрыш.
