Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5358
2017-11-26 
Тяжёлый однородный канат (см. рис.) свободно подвешен за концы. Силы натяжения каната в точках подвеса равны $T_{1}$ и $T_{2}$, а в самой нижней точке каната $T_{3}$. Найти массу каната. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Обратим внимание на то, что горизонтальная компонента силы натяжения нити будет одинакова во всех точках каната. Действительно, рассмотрим произвольный кусочек каната массой $m$ с силой натяжения $T_{A}$ и $T_{B}$ на концах. Сумма действующих на него сил должна быть равна нулю,
$\vec{T}_{A} + \vec{T}_{B} + m \vec{g} = 0$.
В проекции на горизонтальную ось это даёт постоянство горизонтальной компоненты силы натяжения. В нижней точке каната сила его натяжения горизонтальна, следовательно, горизонтальная компонента всюду выражается как $T_{X} = T_{3}$. Но тогда, по теореме Пифагора, легко считается вертикальная компонента силы натяжения на левом и на правом концах каната $T_{1Y} = \sqrt{T_{1}^{2} - T_{X}^{2}} = \sqrt{ T_{1}^{2} - T_{3}^{2} }, T_{2Y} = \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{X}^{2} } = \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{3}^{2} }$. Из равновесия каната ясно, что их сумма равна $mg$.
Ответ. Масса каната равна $m = \frac{ \sqrt{ T_{1}^{2} - T_{3}^{2} }}{g} + \frac{ \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{3}^{2} }}{g}$.
Тяжёлый однородный канат (см. рис.) свободно подвешен за концы. Силы натяжения каната в точках подвеса равны $T_{1}$ и $T_{2}$, а в самой нижней точке каната $T_{3}$. Найти массу каната. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Обратим внимание на то, что горизонтальная компонента силы натяжения нити будет одинакова во всех точках каната. Действительно, рассмотрим произвольный кусочек каната массой $m$ с силой натяжения $T_{A}$ и $T_{B}$ на концах. Сумма действующих на него сил должна быть равна нулю,
$\vec{T}_{A} + \vec{T}_{B} + m \vec{g} = 0$.
В проекции на горизонтальную ось это даёт постоянство горизонтальной компоненты силы натяжения. В нижней точке каната сила его натяжения горизонтальна, следовательно, горизонтальная компонента всюду выражается как $T_{X} = T_{3}$. Но тогда, по теореме Пифагора, легко считается вертикальная компонента силы натяжения на левом и на правом концах каната $T_{1Y} = \sqrt{T_{1}^{2} - T_{X}^{2}} = \sqrt{ T_{1}^{2} - T_{3}^{2} }, T_{2Y} = \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{X}^{2} } = \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{3}^{2} }$. Из равновесия каната ясно, что их сумма равна $mg$.
Ответ. Масса каната равна $m = \frac{ \sqrt{ T_{1}^{2} - T_{3}^{2} }}{g} + \frac{ \sqrt{ T_{2}^{2} - T_{3}^{2} }}{g}$.
