Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5357
2017-11-26 
На клин с углом при вершине $45^{ \circ}$, стоящий на столе, кладут брусок такой же массы. Коэффициент трения между бруском и клином, а также между клином и столом равен $\mu$. При каких значениях $\mu$ брусок будет скользить по клину? При каких значениях $\mu$ клин станет скользить по столу?
Решение:
Обозначим массу клина и бруска $m$. Возможны три варианта движения системы: 1) клин скользит по столу, брусок скользит по клину; 2) клин стоит на месте, а брусок скользит по клину; 3) клин и брусок неподвижны Ситуация, при которой брусок неподвижен относительно клина, а клин скользит по столу, противоречит закону сохранения энергии Первый вариант реализуется при достаточно малых коэффициентах трения, $\mu < \mu_{1}$. При увеличении коэффициента трения реализуется второй вариант: $\mu_{1} < \mu < \mu_{2}$. При ещё больших коэффициентах трения становится возможным третий вариант: $\mu > \mu_{2}$. Определим критические значения коэффициента трения $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Значение $\mu_{2}$ соответствует ситуации, при которой и клин, и брусок ещё неподвижны, но брусок вот-вот начнёт проскальзывать, т. е. сила трения покоя, действующая на него, уже достигла своего максимального значения. Действующие на брусок силы изображены на рис. 1. Два уравнения получим из второго закона Ньютона в проекциях на оси x и у:
$OX: mg \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} = 0$,
$OY: N - mg \cos 45^{ \circ} C = 0$.
Кроме того, воспользуемся условием $F_{тр} = \mu_{2}N$. Решая систему трёх уравнений относительно $\mu_{2}$, получаем $\mu_{2} = tg 45^{ \circ} C = 1$. Теперь определим значение $\mu_{1}$. Оно соответствует ситуации, при которой брусок едет по клину. Силы, действующие на брусок и клин, изображены на рис. 2. Согласно третьему закону Ньютона, на клин со стороны бруска действуют силы $F_{тр}$ и $N$. Сам клин при этом ещё неподвижен, но сила трения между клином и столом уже достигла максимального значения. Запишем второй закон Ньютона для бруска, движущегося с ускорением $a$, в проекциях на оси x и у, а для клина в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$ (см. рис. 2). Для бруска имеем уравнения:
$OX: mg \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} = ma$,
$OY: N - mg \cos 45^{ \circ} C = 0$,
а для клина
$OX: N \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} \cos 45^{ \circ} C = F_{трl}$,
$OY: N_{1} = N \cos 45^{ \circ} C + F_{тр} \sin 45^{ \circ} C + mg$.
Учтём, что $F_{тр} = \mu_{1}N$ и $F_{тр1} = \mu_{1} N_{1}$. Такая система уравнений непротиворечива, если коэффициент трения $\mu_{1}$ удовлетворяет квадратному уравнению $\mu_{1}^{2} + 4 \mu_{1} - 1 = 0$, физический смысл имеет при этом его положительный корень $\mu_{1} = \sqrt{5} - 2$.
Ответ. Брусок будет скользить по клину при $\mu < 1$, а клин будет скользить по столу при $\mu < \sqrt{5} - 2$.
На клин с углом при вершине $45^{ \circ}$, стоящий на столе, кладут брусок такой же массы. Коэффициент трения между бруском и клином, а также между клином и столом равен $\mu$. При каких значениях $\mu$ брусок будет скользить по клину? При каких значениях $\mu$ клин станет скользить по столу?
Решение:
Обозначим массу клина и бруска $m$. Возможны три варианта движения системы: 1) клин скользит по столу, брусок скользит по клину; 2) клин стоит на месте, а брусок скользит по клину; 3) клин и брусок неподвижны Ситуация, при которой брусок неподвижен относительно клина, а клин скользит по столу, противоречит закону сохранения энергии Первый вариант реализуется при достаточно малых коэффициентах трения, $\mu < \mu_{1}$. При увеличении коэффициента трения реализуется второй вариант: $\mu_{1} < \mu < \mu_{2}$. При ещё больших коэффициентах трения становится возможным третий вариант: $\mu > \mu_{2}$. Определим критические значения коэффициента трения $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Значение $\mu_{2}$ соответствует ситуации, при которой и клин, и брусок ещё неподвижны, но брусок вот-вот начнёт проскальзывать, т. е. сила трения покоя, действующая на него, уже достигла своего максимального значения. Действующие на брусок силы изображены на рис. 1. Два уравнения получим из второго закона Ньютона в проекциях на оси x и у:
$OX: mg \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} = 0$,
$OY: N - mg \cos 45^{ \circ} C = 0$.
Кроме того, воспользуемся условием $F_{тр} = \mu_{2}N$. Решая систему трёх уравнений относительно $\mu_{2}$, получаем $\mu_{2} = tg 45^{ \circ} C = 1$. Теперь определим значение $\mu_{1}$. Оно соответствует ситуации, при которой брусок едет по клину. Силы, действующие на брусок и клин, изображены на рис. 2. Согласно третьему закону Ньютона, на клин со стороны бруска действуют силы $F_{тр}$ и $N$. Сам клин при этом ещё неподвижен, но сила трения между клином и столом уже достигла максимального значения. Запишем второй закон Ньютона для бруска, движущегося с ускорением $a$, в проекциях на оси x и у, а для клина в проекциях на оси $x_{1}$ и $y_{1}$ (см. рис. 2). Для бруска имеем уравнения:
$OX: mg \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} = ma$,
$OY: N - mg \cos 45^{ \circ} C = 0$,
а для клина
$OX: N \sin 45^{ \circ} C - F_{тр} \cos 45^{ \circ} C = F_{трl}$,
$OY: N_{1} = N \cos 45^{ \circ} C + F_{тр} \sin 45^{ \circ} C + mg$.
Учтём, что $F_{тр} = \mu_{1}N$ и $F_{тр1} = \mu_{1} N_{1}$. Такая система уравнений непротиворечива, если коэффициент трения $\mu_{1}$ удовлетворяет квадратному уравнению $\mu_{1}^{2} + 4 \mu_{1} - 1 = 0$, физический смысл имеет при этом его положительный корень $\mu_{1} = \sqrt{5} - 2$.
Ответ. Брусок будет скользить по клину при $\mu < 1$, а клин будет скользить по столу при $\mu < \sqrt{5} - 2$.
