Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5352
2017-11-26 
На открытой горизонтальной площадке вкопан столб высотой $H = 7,5 м$ и радиусом $r = 7 см$. Начертите график зависимости длины тени столба от угла подъёма Солнца над горизонтом. Радиус Солнца $R = 700 тыс. км$, и среднее расстояние от Земли до Солнца $L = 150 млн. км$. Максимальная высота Солнца над горизонтом на широте Петербурга $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
Казалось бы, нахождение длины тени ничем не отличается от нахождения длины тени стены такой же высоты: рассмотрим стену высотой $H$ и солнце, освещающее её под углом $\alpha$ (см. рис. 1). Длина тени, очевидно, оказывается равной $x = H ctg \alpha$. При малых $\alpha$ длина тени стены $H ctg \alpha$ стремится к бесконечности. Однако этот, справедливый для тени стены ответ, не всегда годится для столба. В этом легко убедиться, рассмотрев систему сверху (см. рис. 2). Необходимо учесть размер Солнца, ибо углом, под которым мы его видим, нельзя пренебрегать. Тень, отбрасываемая столбом от удалённого точечного источника, по мере удаления от столба становится всё уже и уже и, в конце концов, исчезает. Она имеет сверху форму треугольника или трапеции, в зависимости от высоты Солнца над горизонтом. Очевидно, что при большой ширине столба, когда отличие формы тени столба от прямоугольника мало, длина тени равна $x = H \cdot ctg \alpha$ (так было бы, если вместо столба находилась стена). Неполнота этого выражения становится очевидной, если представить себе что $\alpha \rightarrow 0$. В этом случае $H ctg \alpha$ стремится к бесконечности, однако, длина тени столба не может быть больше $s$. Вычисление $s$ опирается на соображения подобия: $r/s = R/(L + s)$, откуда $s = r (L + s)/R \cong rL/R = 15 м$. Итак, длина тени (в направлении луча!) не больше, чем $s$, а значит её проекция на землю не больше, чем $s_{1} = s \cdot \cos \alpha$. Таким образом, длина тени на земле равна минимальной из величин $x, s_{1}, l = min(x, s_{1})$. Видно, что при малых углах $s > s_{1}$, а при $\alpha > \alpha_{кр}$ наоборот, $s < s_{1}, \sin \alpha_{кр} = H/s = 1/2, \alpha_{кр} = \pi /6 < 60^{ \circ} C$. Следовательно, график будет состоять из куска синусоиды и куска графика котангенса, переходящих друг в друга в точке $\alpha_{кр}$.
Ответ. График зависимости длины $l$ тени столба от высоты Солнца над горизонтом (в градусах) показан на рисунке.
На открытой горизонтальной площадке вкопан столб высотой $H = 7,5 м$ и радиусом $r = 7 см$. Начертите график зависимости длины тени столба от угла подъёма Солнца над горизонтом. Радиус Солнца $R = 700 тыс. км$, и среднее расстояние от Земли до Солнца $L = 150 млн. км$. Максимальная высота Солнца над горизонтом на широте Петербурга $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
Казалось бы, нахождение длины тени ничем не отличается от нахождения длины тени стены такой же высоты: рассмотрим стену высотой $H$ и солнце, освещающее её под углом $\alpha$ (см. рис. 1). Длина тени, очевидно, оказывается равной $x = H ctg \alpha$. При малых $\alpha$ длина тени стены $H ctg \alpha$ стремится к бесконечности. Однако этот, справедливый для тени стены ответ, не всегда годится для столба. В этом легко убедиться, рассмотрев систему сверху (см. рис. 2). Необходимо учесть размер Солнца, ибо углом, под которым мы его видим, нельзя пренебрегать. Тень, отбрасываемая столбом от удалённого точечного источника, по мере удаления от столба становится всё уже и уже и, в конце концов, исчезает. Она имеет сверху форму треугольника или трапеции, в зависимости от высоты Солнца над горизонтом. Очевидно, что при большой ширине столба, когда отличие формы тени столба от прямоугольника мало, длина тени равна $x = H \cdot ctg \alpha$ (так было бы, если вместо столба находилась стена). Неполнота этого выражения становится очевидной, если представить себе что $\alpha \rightarrow 0$. В этом случае $H ctg \alpha$ стремится к бесконечности, однако, длина тени столба не может быть больше $s$. Вычисление $s$ опирается на соображения подобия: $r/s = R/(L + s)$, откуда $s = r (L + s)/R \cong rL/R = 15 м$. Итак, длина тени (в направлении луча!) не больше, чем $s$, а значит её проекция на землю не больше, чем $s_{1} = s \cdot \cos \alpha$. Таким образом, длина тени на земле равна минимальной из величин $x, s_{1}, l = min(x, s_{1})$. Видно, что при малых углах $s > s_{1}$, а при $\alpha > \alpha_{кр}$ наоборот, $s < s_{1}, \sin \alpha_{кр} = H/s = 1/2, \alpha_{кр} = \pi /6 < 60^{ \circ} C$. Следовательно, график будет состоять из куска синусоиды и куска графика котангенса, переходящих друг в друга в точке $\alpha_{кр}$.
Ответ. График зависимости длины $l$ тени столба от высоты Солнца над горизонтом (в градусах) показан на рисунке.
