Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5351
2017-11-26 
На две спицы, жёстко соединённые под углом $\alpha = 60^{ \circ}$, надели резиновое кольцо, длина которого в недеформированном состоянии равна $2L$ (см. рис.). К кольцу подвесили груз массой $m$, в результате чего, оно деформировалось и приняло в состоянии равновесия форму треугольника ACD (BD — ось симметрии рисунка). Трения между кольцом и спицами нет. На каком расстоянии от точки находится груз в равновесии? Известно, что если кольцо разрезать на две одинаковые полоски длины $L$, то коэффициент упругости каждой такой полоски будет равен $k$. Массой резинового кольца пренебречь.
Решение:
Сложность задачи заключается в том, что она состоит из нескольких самостоятельных задач, каждая из которых должна быть решена для получения корректного, обоснованного ответа. В начале необходимо доказать, что треугольник, форму которого приняло резиновое кольцо — равносторонний. Затем следует решить задачу про груз, подвешенный на двух симметричных нитях, и найти силу натяжения резинового кольца. Потом надо решить задачу о том, как изменяется коэффициент упругости в зависимости от длины резинового кольца, и найти длину растянувшегося кольца. И, наконец, надо решить геометрическую задачу по определению расстояния BD (см. рис. 1), зная все линейные размеры и углы ромба ABCD. Каждая из этих задач достаточно проста, но их совмещение создаёт определённые трудности. Сначала докажем, что треугольник $\Delta ACD$ — правильный. Для этого рассмотрим элемент резинки, непосредственно прилегающий к спице, например кусочек рядом с точкой A (см. рис. 1). На него действуют две силы натяжения $F$, которые по модулю равны между собой, и сила реакции со стороны спицы $T$. Так как резинка покоится, то векторная сумма этих сил равна нулю. В проекции на направление спицы сила $T$ не действует, значит, проекции на эту ось обеих сил $F$ должны уравновешивать друг друга. Так как силы $F$ одинаковые по модулю, это возможно лишь при условии равенства обозначенных на рисунке углов. Верхний из этих углов равен $60^{ \circ} C$, следовательно, угол DAC равен $60^{ \circ} C$. Треугольник $\Delta ACD$ симметричен, следовательно, он является правильным и равен треугольнику $\Delta ABC$. Теперь рассмотрим точку подвеса груза и найдём силу натяжения резинки. На эту точку действуют сила тяжести со стороны груза и две симметричных силы натяжения резинки. Так как груз покоится, то векторная сумма этих сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось это даёт $mg = 2F \cos 30^{ \circ} С$, откуда легко выразить $F = mg/2 \cdot \cos 30^{ \circ} С$. Теперь определим, чему равен коэффициент упругости резинки длиной $2L$. Для этого проведём мысленный эксперимент: приложим одинаковые силы $F$ к двум резинкам, изготовленных из одной и той же резиновой ленты. Пусть одна из резинок имеет длину $L$ и жёсткость $k$, а другая — длину $2L$ и неизвестную жёсткость $k_{1}$. Предположим, резинка длиной $L$ растянулась на $\Delta L$. Понятно, что каждая половинка длинной резинки в точности соответствует резинке длиной $L$ и растянется на столько же. Значит закон Гука для короткой и длинной резинки имеет, соответственно, вид $F = k \Delta L, F = 2k_{1} \Delta L$. Решая эту систему уравнений, находим коэффициент упругости для резинки длины $2L: k_{1} = k/2$. Зная $k_{1}$, найдём удлинение резинового кольца длиной $2L$ под действием силы $F:2 \Delta L = F/k_{1} = mg/k \cdot \cos 30^{ \circ} C$. Из соображений симметрии следует, что каждая сторона треугольника $\Delta ACD$, образованного резинкой, удлинилась одинаково, тогда можно найти длину одной стороны $AD = (2L + mg/k \cdot \cos 30^{ \circ} C)/3$. И наконец, теперь можно найти и расстояние $BD = 2 AD \cos 30^{ \circ}$.
Ответ. Искомое расстояние равно $BD = 4L \cdot \cos 30^{ \circ} C)/3 + 2mg/3k$.
На две спицы, жёстко соединённые под углом $\alpha = 60^{ \circ}$, надели резиновое кольцо, длина которого в недеформированном состоянии равна $2L$ (см. рис.). К кольцу подвесили груз массой $m$, в результате чего, оно деформировалось и приняло в состоянии равновесия форму треугольника ACD (BD — ось симметрии рисунка). Трения между кольцом и спицами нет. На каком расстоянии от точки находится груз в равновесии? Известно, что если кольцо разрезать на две одинаковые полоски длины $L$, то коэффициент упругости каждой такой полоски будет равен $k$. Массой резинового кольца пренебречь.
Решение:
Сложность задачи заключается в том, что она состоит из нескольких самостоятельных задач, каждая из которых должна быть решена для получения корректного, обоснованного ответа. В начале необходимо доказать, что треугольник, форму которого приняло резиновое кольцо — равносторонний. Затем следует решить задачу про груз, подвешенный на двух симметричных нитях, и найти силу натяжения резинового кольца. Потом надо решить задачу о том, как изменяется коэффициент упругости в зависимости от длины резинового кольца, и найти длину растянувшегося кольца. И, наконец, надо решить геометрическую задачу по определению расстояния BD (см. рис. 1), зная все линейные размеры и углы ромба ABCD. Каждая из этих задач достаточно проста, но их совмещение создаёт определённые трудности. Сначала докажем, что треугольник $\Delta ACD$ — правильный. Для этого рассмотрим элемент резинки, непосредственно прилегающий к спице, например кусочек рядом с точкой A (см. рис. 1). На него действуют две силы натяжения $F$, которые по модулю равны между собой, и сила реакции со стороны спицы $T$. Так как резинка покоится, то векторная сумма этих сил равна нулю. В проекции на направление спицы сила $T$ не действует, значит, проекции на эту ось обеих сил $F$ должны уравновешивать друг друга. Так как силы $F$ одинаковые по модулю, это возможно лишь при условии равенства обозначенных на рисунке углов. Верхний из этих углов равен $60^{ \circ} C$, следовательно, угол DAC равен $60^{ \circ} C$. Треугольник $\Delta ACD$ симметричен, следовательно, он является правильным и равен треугольнику $\Delta ABC$. Теперь рассмотрим точку подвеса груза и найдём силу натяжения резинки. На эту точку действуют сила тяжести со стороны груза и две симметричных силы натяжения резинки. Так как груз покоится, то векторная сумма этих сил равна нулю. В проекции на вертикальную ось это даёт $mg = 2F \cos 30^{ \circ} С$, откуда легко выразить $F = mg/2 \cdot \cos 30^{ \circ} С$. Теперь определим, чему равен коэффициент упругости резинки длиной $2L$. Для этого проведём мысленный эксперимент: приложим одинаковые силы $F$ к двум резинкам, изготовленных из одной и той же резиновой ленты. Пусть одна из резинок имеет длину $L$ и жёсткость $k$, а другая — длину $2L$ и неизвестную жёсткость $k_{1}$. Предположим, резинка длиной $L$ растянулась на $\Delta L$. Понятно, что каждая половинка длинной резинки в точности соответствует резинке длиной $L$ и растянется на столько же. Значит закон Гука для короткой и длинной резинки имеет, соответственно, вид $F = k \Delta L, F = 2k_{1} \Delta L$. Решая эту систему уравнений, находим коэффициент упругости для резинки длины $2L: k_{1} = k/2$. Зная $k_{1}$, найдём удлинение резинового кольца длиной $2L$ под действием силы $F:2 \Delta L = F/k_{1} = mg/k \cdot \cos 30^{ \circ} C$. Из соображений симметрии следует, что каждая сторона треугольника $\Delta ACD$, образованного резинкой, удлинилась одинаково, тогда можно найти длину одной стороны $AD = (2L + mg/k \cdot \cos 30^{ \circ} C)/3$. И наконец, теперь можно найти и расстояние $BD = 2 AD \cos 30^{ \circ}$.
Ответ. Искомое расстояние равно $BD = 4L \cdot \cos 30^{ \circ} C)/3 + 2mg/3k$.
