Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5350
2017-11-26 
Если на проволоку, изогнутую в форме спирали (см. рис. а), насадить бусинку и отпустить её без начальной скорости, то некоторое вертикальное расстояние она пройдёт за время $T_{1}$. Если бусинку насадить на прямую проволоку и отпустить, то такое же расстояние она пройдёт за время $T_{2}$ (см. рис. б). Прямую проволоку располагают на оси спирали. На неё и на спираль надевают две одинаковые бусинки. Бусинки соединены лёгким твёрдым длинным стержнем, составляющим малый угол с вертикалью (см. рис. в). За какое время скреплённые друг с другом бусинки преодолеют это же вертикальное расстояние, если их отпустить без начальной скорости? Трением пренебречь.
Решение:
Поскольку в условии сказано, что в третьем случае стержень составляет малый угол с вертикалью, в дальнейшем будем считать, что силы взаимодействия стержня с бусинками направлены практически вертикально. Пусть бусинка движется по спирали под действием некоторой вертикальной силы $F$ (в первом случае это сила тяжести, в третьем — равнодействующая сил тяжести и упругости стержня). Кроме неё, на бусинку действует сила реакции со стороны спирали. Очевидно, что сила реакции пропорциональна силе $F$, и поэтому вертикальное ускорение бусинки также пропорционально силе $F, a_{верт} = \beta F$. Здесь $\beta$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических характеристик спирали и массы бусинки $m$. Аналогичное утверждение верно и для бусинки, движущейся по вертикальному стержню. Её вертикальное ускорение также пропорционально действующей силе $F, a_{верт} = \beta F$. (В этом случае коэффициент $\beta$ равен обратной массе бусинки.) Обозначим вертикальные ускорения бусинок во всех трёх случаях $a_{1}, a_{2}, a_{3}$. В первых двух случаях бусинки двигаются под действием силы тяжести, поэтому $a_{1} = \alpha mg, a_{2} = \beta mg$. В третьем случае на верхнюю бусинку действует сила $mg + T$, а на нижнюю $mg - T$, здесь $T$ — сила упругости стержня. При этом вертикальные ускорения обеих бусинок равны $a_{3} = a (mg + T) = \beta (mg - T)$. Рассматривая выражения для ускорений $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ как систему совместных уравнений, выразим $a_{3}$ через $a_{1}$ и $a_{2}: a_{3} = 2a_{1} a_{2}/(a_{1} + a_{2})$. Во всех трёх случаях бусинки проходят одно и то же расстояние $L = 1/2a_{1} T_{1}^{2} = 1/2a_{2} T_{2}^{2} = 1/2a_{3}T_{3}^{2}$. Из последнего равенства нетрудно выразить $T_{3}$.
Ответ. Не имея начальной скорости, бусинки преодолеют вертикальное расстояние за время $T_{3} = \sqrt{ \frac{ T_{1}^{2} + T_{2}^{2} }{2} }$.
Если на проволоку, изогнутую в форме спирали (см. рис. а), насадить бусинку и отпустить её без начальной скорости, то некоторое вертикальное расстояние она пройдёт за время $T_{1}$. Если бусинку насадить на прямую проволоку и отпустить, то такое же расстояние она пройдёт за время $T_{2}$ (см. рис. б). Прямую проволоку располагают на оси спирали. На неё и на спираль надевают две одинаковые бусинки. Бусинки соединены лёгким твёрдым длинным стержнем, составляющим малый угол с вертикалью (см. рис. в). За какое время скреплённые друг с другом бусинки преодолеют это же вертикальное расстояние, если их отпустить без начальной скорости? Трением пренебречь.
Решение:
Поскольку в условии сказано, что в третьем случае стержень составляет малый угол с вертикалью, в дальнейшем будем считать, что силы взаимодействия стержня с бусинками направлены практически вертикально. Пусть бусинка движется по спирали под действием некоторой вертикальной силы $F$ (в первом случае это сила тяжести, в третьем — равнодействующая сил тяжести и упругости стержня). Кроме неё, на бусинку действует сила реакции со стороны спирали. Очевидно, что сила реакции пропорциональна силе $F$, и поэтому вертикальное ускорение бусинки также пропорционально силе $F, a_{верт} = \beta F$. Здесь $\beta$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических характеристик спирали и массы бусинки $m$. Аналогичное утверждение верно и для бусинки, движущейся по вертикальному стержню. Её вертикальное ускорение также пропорционально действующей силе $F, a_{верт} = \beta F$. (В этом случае коэффициент $\beta$ равен обратной массе бусинки.) Обозначим вертикальные ускорения бусинок во всех трёх случаях $a_{1}, a_{2}, a_{3}$. В первых двух случаях бусинки двигаются под действием силы тяжести, поэтому $a_{1} = \alpha mg, a_{2} = \beta mg$. В третьем случае на верхнюю бусинку действует сила $mg + T$, а на нижнюю $mg - T$, здесь $T$ — сила упругости стержня. При этом вертикальные ускорения обеих бусинок равны $a_{3} = a (mg + T) = \beta (mg - T)$. Рассматривая выражения для ускорений $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ как систему совместных уравнений, выразим $a_{3}$ через $a_{1}$ и $a_{2}: a_{3} = 2a_{1} a_{2}/(a_{1} + a_{2})$. Во всех трёх случаях бусинки проходят одно и то же расстояние $L = 1/2a_{1} T_{1}^{2} = 1/2a_{2} T_{2}^{2} = 1/2a_{3}T_{3}^{2}$. Из последнего равенства нетрудно выразить $T_{3}$.
Ответ. Не имея начальной скорости, бусинки преодолеют вертикальное расстояние за время $T_{3} = \sqrt{ \frac{ T_{1}^{2} + T_{2}^{2} }{2} }$.
