2014-06-01
Цилиндр массой $m$ и радиуса $r$ опирается на две подставки одинаковой высоты (рис.). Одна подставка неподвижна, а другая выезжает из-под цилиндра со скоростью $v$.
Определите силу давления $N$ цилиндра на неподвижную подставку в тот момент, когда расстояние между точками опоры равно $AB = r \sqrt{2}$. Считать, что в начальный момент подставки располагались очень близко друг к другу; трением между цилиндром и подставками пренебречь.
Решение:
До тех пор пока цилиндр не оторвется от опор, ось цилиндра будет всегда находиться точно посередине между опорами. Следовательно, горизонтальная составляющая скорости оси цилиндра равна $v/2$. Поскольку все точки оси цилиндра движутся по окружности с центром в точке А, полная скорость и каждой точки оси направлена в любой момент времени перпендикулярно радиусу $OA = r$. Следовательно, все точки оси движутся с центростремительным ускорением $a_{ц}=u^{2}/r$.
Запишем уравнение движения точки О в проекции на «центростремительную» ось:
$mg \cos \alpha – N = ma_{ц} = mu^{2}/r$, (1)
где $N$ - сила реакции со стороны неподвижной опоры. Из условия, что расстояние между точками опор равно $r \sqrt{2}$, следует отсутствие вклада силы реакции со стороны подвижной подставки на «центростремительную» ось. По третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой цилиндр давит на неподвижную опору. Из уравнения (1) находим
$N = mg \cos \alpha – mu^{2}/r$.
В тот момент, когда расстояние между точками опор А и В (рис.) равно $AB = r \sqrt{2}$,
$\cos \alpha = r \sqrt{2} / (2r) = 1 / \sqrt{2}$.
Горизонтальная составляющая скорости точки О равна и $u \cos \alpha= v/2$, откуда $u = v \sqrt{2}$. Таким образом, при $AB = r \sqrt{2}$ сила давления цилиндра равна
$N = mg / \sqrt{2} – mv^{2} / (2r)$.
Для того чтобы цилиндр не оторвался от опор до того, как АВ станет равным $r \sqrt{2}$, должно выполняться условие $g/ \sqrt{2} > v^{2} / (2r)$, т.е. $v < \sqrt{gr\sqrt{2}}$.