Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5346
2017-11-26 
Старый пятиэтажный дом обветшал, и его балконы готовы оторваться от фасада при малейшем толчке. Случилось так, что первым рухнул балкон верхнего этажа. Расстояние между балконами на всех этажах одинаково и равно $h$, так же как и расстояние между балконом 2-го этажа и землёй. Ускорение свободного падения равно $g$. Массы балконов одинаковы, удары их друг о друга неупруги. Определите скорость балконов в момент удара о землю. Толщиной балконов и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Пронумеруем балконы сверху вниз, а массу балкона обозначим $m$. С помощью закона сохранения энергии, $mgh = mv_{1}^{2}/2$, вычислим скорость $v_{1}$, с которой первый балкон налетит на второй: $v_{1} = \sqrt{2gh}$. Поскольку столкновения между балконами абсолютно неупругие, то, после столкновения первого балкона со вторым, оба будут иметь одну скорость $u_{2}$, которую можно найти из закона сохранения импульса, $mv_{1} = 2mu_{2}, u_{2} = v_{1}/2$. Аналогично можно найти скорость $v_{n} = \sqrt{ u_{n}^{2} + 2gh }$, которую будут иметь $n$ балконов перед столкновением с $(n + 1)$-ым — из закона сохранения энергии, $nmgh + nmu_{n}^{2}/2 = nmv_{n}^{2}/2$, а также скорость $u_{n}$, которую будут иметь $n$ балконов сразу после того, как группа из $n - 1$ балкона столкнётся с $n$-ым: $(n - 1)mv_{n-1} = nmu_{n}$. Откуда $u_{n} = \frac{n-1}{n} v_{n-1}$. Таким образом, можно последовательно вычислить скорости $v_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4}$ и, наконец, $v_{4} = \sqrt{ \frac{15}{4} gh }$. Кроме того, можно показать, что $v_{n} = \sqrt{ \frac{(n+1)(2n+1)}{3n} }$. График этой зависимости представлен на рисунке.
Ответ. Скорость 4-го балкона в момент удара о землю равна $v_{4} = \sqrt{ \frac{15}{4} gh }$.
Старый пятиэтажный дом обветшал, и его балконы готовы оторваться от фасада при малейшем толчке. Случилось так, что первым рухнул балкон верхнего этажа. Расстояние между балконами на всех этажах одинаково и равно $h$, так же как и расстояние между балконом 2-го этажа и землёй. Ускорение свободного падения равно $g$. Массы балконов одинаковы, удары их друг о друга неупруги. Определите скорость балконов в момент удара о землю. Толщиной балконов и сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Пронумеруем балконы сверху вниз, а массу балкона обозначим $m$. С помощью закона сохранения энергии, $mgh = mv_{1}^{2}/2$, вычислим скорость $v_{1}$, с которой первый балкон налетит на второй: $v_{1} = \sqrt{2gh}$. Поскольку столкновения между балконами абсолютно неупругие, то, после столкновения первого балкона со вторым, оба будут иметь одну скорость $u_{2}$, которую можно найти из закона сохранения импульса, $mv_{1} = 2mu_{2}, u_{2} = v_{1}/2$. Аналогично можно найти скорость $v_{n} = \sqrt{ u_{n}^{2} + 2gh }$, которую будут иметь $n$ балконов перед столкновением с $(n + 1)$-ым — из закона сохранения энергии, $nmgh + nmu_{n}^{2}/2 = nmv_{n}^{2}/2$, а также скорость $u_{n}$, которую будут иметь $n$ балконов сразу после того, как группа из $n - 1$ балкона столкнётся с $n$-ым: $(n - 1)mv_{n-1} = nmu_{n}$. Откуда $u_{n} = \frac{n-1}{n} v_{n-1}$. Таким образом, можно последовательно вычислить скорости $v_{2}, u_{3}, v_{3}, u_{4}$ и, наконец, $v_{4} = \sqrt{ \frac{15}{4} gh }$. Кроме того, можно показать, что $v_{n} = \sqrt{ \frac{(n+1)(2n+1)}{3n} }$. График этой зависимости представлен на рисунке.
Ответ. Скорость 4-го балкона в момент удара о землю равна $v_{4} = \sqrt{ \frac{15}{4} gh }$.
