Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5344
2017-11-26 
В результате взрыва космический объект превратился в облако мелкой пыли. Сразу после взрыва облако однородно и шарообразно, имеет радиус $R$ и плотность $\rho_{0}$. Начальная скорость $v$ каждой пылинки направлена от центра облака и пропорциональна расстоянию $r$ до центра: $v = Hr$ ($H$ — известный коэффициент). Определите плотность пыли на расстоянии $x$ от центра облака через время $t$ после взрыва. Гравитационным взаимодействием пылинок пренебречь.
Примечание. Объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3} \pi R^{3}$.
Решение:
Заметим, что пылинки не обгоняют друг друга, так как те из них, что имеют большую скорость, находятся дальше от центра. Рассмотрим пылинки, находящиеся в начальный момент на расстоянии $r_{1}$ и $r_{2}$ от центра облака. Через время $t$ они окажутся на расстояниях $r_{1}^{ \prime} = r_{1} + Hr_{1}t = r_{1}(1 + Ht)$ и $r_{2}^{ \prime} = r_{2}(1 + Ht)$ от центра. Теперь рассмотрим вещество, находившееся в начальный момент между сферами радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$, центр которых совпадает с центром облака. масса этого вещества равна $m = \rho_{0}(4 \pi r_{1}^{3}/3 - 4 \pi r_{2}^{3} /3)$. Поскольку пылинки не обгоняют друг друга, через время $t$ это вещество будет находиться между сферами радиусами $r_{1}^{ \prime}$ и $r_{2}^{ \prime}$, центр которых совпадает с центром облака. Поэтому средняя плотность этого вещества равна $\rho = m/(4 \pi r_{1}^{ \prime 3}/3 - 4 \pi r_{2}^{ \prime 3 } /3) = \rho_{0} /(1 + Ht)^{3}$. Мы видим, что эта плотность не зависит от $r_{1}$ и $r_{2}$, таким образом, облако останется однородным. Радиус облака определяется местоположением самых дальних пылинок и равен $R^{ \prime} = R(1 + Ht)$.
Ответ. Плотность пыли на расстоянии $x$ от центра облака через время $t$ после взрыва равна $\rho = \rho_{0}/(1 + Ht)^{3}$, если $x < R(1 + H t)$ и $\rho = 0$, в противном случае.
В результате взрыва космический объект превратился в облако мелкой пыли. Сразу после взрыва облако однородно и шарообразно, имеет радиус $R$ и плотность $\rho_{0}$. Начальная скорость $v$ каждой пылинки направлена от центра облака и пропорциональна расстоянию $r$ до центра: $v = Hr$ ($H$ — известный коэффициент). Определите плотность пыли на расстоянии $x$ от центра облака через время $t$ после взрыва. Гравитационным взаимодействием пылинок пренебречь.
Примечание. Объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3} \pi R^{3}$.
Решение:
Заметим, что пылинки не обгоняют друг друга, так как те из них, что имеют большую скорость, находятся дальше от центра. Рассмотрим пылинки, находящиеся в начальный момент на расстоянии $r_{1}$ и $r_{2}$ от центра облака. Через время $t$ они окажутся на расстояниях $r_{1}^{ \prime} = r_{1} + Hr_{1}t = r_{1}(1 + Ht)$ и $r_{2}^{ \prime} = r_{2}(1 + Ht)$ от центра. Теперь рассмотрим вещество, находившееся в начальный момент между сферами радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$, центр которых совпадает с центром облака. масса этого вещества равна $m = \rho_{0}(4 \pi r_{1}^{3}/3 - 4 \pi r_{2}^{3} /3)$. Поскольку пылинки не обгоняют друг друга, через время $t$ это вещество будет находиться между сферами радиусами $r_{1}^{ \prime}$ и $r_{2}^{ \prime}$, центр которых совпадает с центром облака. Поэтому средняя плотность этого вещества равна $\rho = m/(4 \pi r_{1}^{ \prime 3}/3 - 4 \pi r_{2}^{ \prime 3 } /3) = \rho_{0} /(1 + Ht)^{3}$. Мы видим, что эта плотность не зависит от $r_{1}$ и $r_{2}$, таким образом, облако останется однородным. Радиус облака определяется местоположением самых дальних пылинок и равен $R^{ \prime} = R(1 + Ht)$.
Ответ. Плотность пыли на расстоянии $x$ от центра облака через время $t$ после взрыва равна $\rho = \rho_{0}/(1 + Ht)^{3}$, если $x < R(1 + H t)$ и $\rho = 0$, в противном случае.
