2017-11-26
На сильном морозе лыжники дышат через специальную «грелку», внутри пластмассового корпуса которой находится система проволочных решёток. Решётки нагреваются воздухом, который лыжник выдыхает, и нагревают вдыхаемый воздух. При температуре на улице $T_{0} = - 20^{ \circ} C$ температура грелки, которую использовал лыжник, была равна $T_{1} = - 6^{ \circ} C$. Во время разминки лыжник стал дышать вдвое чаще. До какой температуры $T_{2}$ нагрелась грелка?
Примечание. Температура воздуха, выдыхаемая лыжником, равна $T_{Л} = 36^{ \circ} C$. Считать, что температура воздуха, проходящего через грелку, успевает сравняться с её температурой. Мощность теплоотдачи от грелки в окружающую среду (через боковую поверхность) пропорциональна разности температур грелки и окружающей среды. Теплоёмкость грелки достаточно большая, так что за время вдоха/выдоха её температура практически не меняется.
Решение:
Пусть за один вдох/выдох через грелку проходит некоторое количество воздуха с теплоёмкостью $C$. Установившуюся температуру грелки обозначим за $T$. Тогда при выдохе, за счёт охлаждения воздуха до температуры грелки, она получает количество теплоты $Q_{1} = C(T_{Л} - T)$. При вдохе проходящий через грелку воздух нагревается до её температуры, и грелка отдаёт количество теплоты $Q_{2} = C(T - T_{0})$. Также грелка отдаёт тепло в окружающую среду через боковые стенки. мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур грелки и окружающей среды: $P = \alpha (T - T_{0})$. Пусть лыжник делает один выдох и вдох за время $\tau$. Считая, что температура грелки установилась, можно написать уравнение теплового баланса:
$Q_{1} = Q_{2} + P \tau \Rightarrow 1 + \frac{ \alpha}{C} \tau = \frac{T_{Л} - T}{T - T_{0}}$.
Пусть в первом случае период дыхания лыжника равен $\tau_{1}$. Тогда
$\frac{ \alpha}{C} \tau_{1} = \frac{T_{Л} - T_{1}}{T_{1} - T_{0}} - 1 = 2$.
Во втором случае период дыхания уменьшился вдвое. Подставляя в уравнение теплового баланса $T = T_{2}$ и $\tau = \tau_{2} = \tau_{1}/2$, выразим
$T_{2} = \frac{T_{л} + 2T_{0}}{3} = - \frac{4}{3}^{ \circ} C \approx - 1,3^{ \circ} C$.
Ответ. Грелка нагрелась до температуры $T_{2} \approx - 1,3^{ \circ} C$.