Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5338
2017-11-26 
Медный кубик со стороной $a$, нагретый до температуры $t > 0^{ \circ} C$, был помещён в лёгкий, тонкий, плотно прилегающий к стенкам теплоизолирующий колпачок так, что открытой осталась только одна грань (см. рис.). Кубик положили открытой гранью вниз на ледяной куб массы $M$, плавающий в воде при температуре $0^{ \circ} C$. Кубик начал проплавлять во льду углубление квадратного сечения, всё глубже погружаясь в него. После установления в системе теплового равновесия измерили глубину, на которую погрузился в воду ледяной куб. Построить график зависимости этой глубины от первоначальной температуры меди. Известны плотности воды, льда и меди, а также удельная теплоёмкость меди и удельная теплота плавления льда. Считать, что вода, образующаяся при плавлении льда, имеет температуру $0^{ \circ} C$ и та её часть, которая вытекает из углубления, сразу удаляется —стекает с поверхности ледяного куба.
Решение:
Обозначим через $b$ сторону ледяного куба. Найдём $b$ из соотношения между массой и объёмом льда, $b = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho_{л}}}$. Глубина, на которую тело погружено в воду, целиком определяется соотношением между средней плотностью тела и плотностью воды. Так, ледяной куб со стороной $b$ первоначально плавает, погрузившись в воду на глубину $h_{0} = b \rho_{л}/ \rho_{0}$. Предположим сначала, что кубик меди проплавил во льду отверстие глубиной $x < a$ (так что вся растаявшая вода выливается). При этом $x$ связано с начальной температурой меди уравнением теплового баланса $c_{м} mt = \lambda \rho_{л} xa^{2}$, где $m = \rho_{м} a^{3}$ — масса меди, $t$ — температура меди, отсчитываемая от $0^{ \circ} C$. Левая часть последнего выражения представляет собой теплоту, отданную медью при остывании, а правая часть — теплоту, затраченную на плавление льда объёмом $xa^{2}$. Отсюда находим $x = \frac{ c_{м} \rho_{м} ta }{ \lambda \rho_{л}} = kta$, для краткости мы ввели параметр $k = \rho_{м}c_{м}/ \lambda \rho_{л}$. Так как теперь внутри льда содержится медь, средняя плотность плавающего тела увеличилась по сравнению с первоначальной. Найдём эту среднюю плотность, разделив массу льда с медью на объём льда, $\rho_{ср} = (M + m - x \rho_{л} a^{2})/b^{3}$. В последнем равенстве в числителе мы учли, что часть льда объёмом $xa^{2}$ растаяла и вылилась. Таким образом, глубина погружения составит $h(t) = b \rho_{ср}/ \rho_{0} = h_{0} (1 + \rho_{м} a^{3}/M) - h_{0} kt \rho_{л} a^{3}/M$. Это линейная убывающая зависимость. Для того, чтобы $x$ было меньше $a$ (чтобы вся вода, образовавшаяся изо льда, вытекала), параметр $kt$ должен быть меньше единицы. Это имеет место при температурах $t < t_{0} = \lambda \rho_{л} /( \rho_{м} c_{м})$. Начиная с температуры $t = t_{0}$, при увеличении $t$, вода перестаёт выливаться из углубления (так как $c_{л} < c_{0}$ и вода, образовавшаяся в результате таяния льда, имеет меньший объём, чем исходный лёд). Таким образом, $c_{ср}$ перестаёт изменяться, и $h(t)$ на участке $t > t_{0}$ будет равной $h(t_{0})$. Возможен также случай, когда медь насквозь проплавляет лёд и тонет. Это происходит если $c_{м}mt > \lambda \rho_{л} ba^{2}$, т.е. при температурах $t > t_{1} = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho_{л}}} \frac{ \lambda \rho_{л} }{ ac_{м} \rho_{м} }$. Очевидно, в этом случае глубина погружения сравняется с первоначальной глубиной $h_{0}$.
Ответ. Требуемый график изображён на рисунке.
Медный кубик со стороной $a$, нагретый до температуры $t > 0^{ \circ} C$, был помещён в лёгкий, тонкий, плотно прилегающий к стенкам теплоизолирующий колпачок так, что открытой осталась только одна грань (см. рис.). Кубик положили открытой гранью вниз на ледяной куб массы $M$, плавающий в воде при температуре $0^{ \circ} C$. Кубик начал проплавлять во льду углубление квадратного сечения, всё глубже погружаясь в него. После установления в системе теплового равновесия измерили глубину, на которую погрузился в воду ледяной куб. Построить график зависимости этой глубины от первоначальной температуры меди. Известны плотности воды, льда и меди, а также удельная теплоёмкость меди и удельная теплота плавления льда. Считать, что вода, образующаяся при плавлении льда, имеет температуру $0^{ \circ} C$ и та её часть, которая вытекает из углубления, сразу удаляется —стекает с поверхности ледяного куба.
Решение:
Обозначим через $b$ сторону ледяного куба. Найдём $b$ из соотношения между массой и объёмом льда, $b = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho_{л}}}$. Глубина, на которую тело погружено в воду, целиком определяется соотношением между средней плотностью тела и плотностью воды. Так, ледяной куб со стороной $b$ первоначально плавает, погрузившись в воду на глубину $h_{0} = b \rho_{л}/ \rho_{0}$. Предположим сначала, что кубик меди проплавил во льду отверстие глубиной $x < a$ (так что вся растаявшая вода выливается). При этом $x$ связано с начальной температурой меди уравнением теплового баланса $c_{м} mt = \lambda \rho_{л} xa^{2}$, где $m = \rho_{м} a^{3}$ — масса меди, $t$ — температура меди, отсчитываемая от $0^{ \circ} C$. Левая часть последнего выражения представляет собой теплоту, отданную медью при остывании, а правая часть — теплоту, затраченную на плавление льда объёмом $xa^{2}$. Отсюда находим $x = \frac{ c_{м} \rho_{м} ta }{ \lambda \rho_{л}} = kta$, для краткости мы ввели параметр $k = \rho_{м}c_{м}/ \lambda \rho_{л}$. Так как теперь внутри льда содержится медь, средняя плотность плавающего тела увеличилась по сравнению с первоначальной. Найдём эту среднюю плотность, разделив массу льда с медью на объём льда, $\rho_{ср} = (M + m - x \rho_{л} a^{2})/b^{3}$. В последнем равенстве в числителе мы учли, что часть льда объёмом $xa^{2}$ растаяла и вылилась. Таким образом, глубина погружения составит $h(t) = b \rho_{ср}/ \rho_{0} = h_{0} (1 + \rho_{м} a^{3}/M) - h_{0} kt \rho_{л} a^{3}/M$. Это линейная убывающая зависимость. Для того, чтобы $x$ было меньше $a$ (чтобы вся вода, образовавшаяся изо льда, вытекала), параметр $kt$ должен быть меньше единицы. Это имеет место при температурах $t < t_{0} = \lambda \rho_{л} /( \rho_{м} c_{м})$. Начиная с температуры $t = t_{0}$, при увеличении $t$, вода перестаёт выливаться из углубления (так как $c_{л} < c_{0}$ и вода, образовавшаяся в результате таяния льда, имеет меньший объём, чем исходный лёд). Таким образом, $c_{ср}$ перестаёт изменяться, и $h(t)$ на участке $t > t_{0}$ будет равной $h(t_{0})$. Возможен также случай, когда медь насквозь проплавляет лёд и тонет. Это происходит если $c_{м}mt > \lambda \rho_{л} ba^{2}$, т.е. при температурах $t > t_{1} = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho_{л}}} \frac{ \lambda \rho_{л} }{ ac_{м} \rho_{м} }$. Очевидно, в этом случае глубина погружения сравняется с первоначальной глубиной $h_{0}$.
Ответ. Требуемый график изображён на рисунке.
