Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5337
2017-11-26 
Рабочий поднимает груз массой $m = 5 кг$ с помощью ворота. Верёвка, которой привязан груз, имеет толщину $d = 0,5 см$. При наматывании верёвки на ворот витки ложатся один на другой (см. рис.). Рабочий крутит ворот за ручку длиной $L = 50 см$. График зависимости периода $T$ вращения ручки от силы $F$, которую приходится прикладывать рабочему для её вращения, изображён на рис. За какое время рабочий поднимет груз на высоту $H = 19 м$, если изначально радиус ворота с намотанной верёвкой равен $R_{0} = 10 см$?
Примечание. Площадь круга радиуса $R$ равна $S = \pi R^{2}$.
Решение:
Найдём, на сколько изменится радиус ворота с верёвкой при подъёме груза на высоту $H$. Так как витки верёвки всё время ложатся один на другой, то площадь круга, который образует ворот с верёвкой, возрастёт на $Hd$ — площадь, которую занимает кусок верёвки толщины $d$ и длины $H$. Тогда, если $R_{1}$ — конечный радиус, то $Hd = \pi R_{1}^{2} - \pi R_{0}^{2}$. Следовательно, $R_{1} = (Hd/ \pi + R_{0}^{2})^{1/2} \cong 20 см$. Пусть радиус ворота с верёвкой равен $R$. По правилу рычага, рабочему приходится прикладывать силу $F = mgR/L$. Если в начале подъёма она равна $F_{0} = mgR_{0}/L$, то в конце — $F_{1} = mgR_{1} /L$. За один оборот эта сила изменяется на $\Delta F = mg \Delta R/L = mgd/L$, т.е. за каждый оборот сила всегда изменяется на одну и ту же величину, малую по сравнению с самой силой $F$. Пусть $T_{i} = T(F_{i})$ — время, потраченное на $i$-ый оборот ворота ($F_{i}$ — средняя сила, которую приходится прикладывать рабочему за время этого оборота, связь между $T_{i}$ и $F_{i}$ даётся графиком на рисунке). Полное затраченное на подъём груза время тогда равно
$t = \sum_{i} T_{i} = \frac{ \left ( \sum_{i} T_{i} \Delta F \right ) }{ mg \frac{d}{L}}$.
Член суммы $T_{i} \Delta F$ имеет смысл площади маленького прямоугольника на графике зависимости $F(T)$ с основанием $\Delta F$ и высотой $T_{i}$. Сумма таких площадей площадь фигуры под кривой $F(T)$, между вертикальными прямыми $F = F_{1}, F = F_{2}$ и осью $F$. В фигуру укладывается примерно 36 клеток площадью $\Delta S = 2H \cdot 0,25 сек$. Вся площадь $S \cong 18 Н \cdot сек$. Затраченное время $T = SL/mgd = 36 сек$.
Ответ. Рабочий поднимет груз на высоту 19 м за 36 сек.
Рабочий поднимает груз массой $m = 5 кг$ с помощью ворота. Верёвка, которой привязан груз, имеет толщину $d = 0,5 см$. При наматывании верёвки на ворот витки ложатся один на другой (см. рис.). Рабочий крутит ворот за ручку длиной $L = 50 см$. График зависимости периода $T$ вращения ручки от силы $F$, которую приходится прикладывать рабочему для её вращения, изображён на рис. За какое время рабочий поднимет груз на высоту $H = 19 м$, если изначально радиус ворота с намотанной верёвкой равен $R_{0} = 10 см$?
Примечание. Площадь круга радиуса $R$ равна $S = \pi R^{2}$.
Решение:
Найдём, на сколько изменится радиус ворота с верёвкой при подъёме груза на высоту $H$. Так как витки верёвки всё время ложатся один на другой, то площадь круга, который образует ворот с верёвкой, возрастёт на $Hd$ — площадь, которую занимает кусок верёвки толщины $d$ и длины $H$. Тогда, если $R_{1}$ — конечный радиус, то $Hd = \pi R_{1}^{2} - \pi R_{0}^{2}$. Следовательно, $R_{1} = (Hd/ \pi + R_{0}^{2})^{1/2} \cong 20 см$. Пусть радиус ворота с верёвкой равен $R$. По правилу рычага, рабочему приходится прикладывать силу $F = mgR/L$. Если в начале подъёма она равна $F_{0} = mgR_{0}/L$, то в конце — $F_{1} = mgR_{1} /L$. За один оборот эта сила изменяется на $\Delta F = mg \Delta R/L = mgd/L$, т.е. за каждый оборот сила всегда изменяется на одну и ту же величину, малую по сравнению с самой силой $F$. Пусть $T_{i} = T(F_{i})$ — время, потраченное на $i$-ый оборот ворота ($F_{i}$ — средняя сила, которую приходится прикладывать рабочему за время этого оборота, связь между $T_{i}$ и $F_{i}$ даётся графиком на рисунке). Полное затраченное на подъём груза время тогда равно
$t = \sum_{i} T_{i} = \frac{ \left ( \sum_{i} T_{i} \Delta F \right ) }{ mg \frac{d}{L}}$.
Член суммы $T_{i} \Delta F$ имеет смысл площади маленького прямоугольника на графике зависимости $F(T)$ с основанием $\Delta F$ и высотой $T_{i}$. Сумма таких площадей площадь фигуры под кривой $F(T)$, между вертикальными прямыми $F = F_{1}, F = F_{2}$ и осью $F$. В фигуру укладывается примерно 36 клеток площадью $\Delta S = 2H \cdot 0,25 сек$. Вся площадь $S \cong 18 Н \cdot сек$. Затраченное время $T = SL/mgd = 36 сек$.
Ответ. Рабочий поднимет груз на высоту 19 м за 36 сек.
