Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5318
2017-11-26 
Мальчик поднимается в гору со скоростью 1 м/с. Когда до вершины остаётся идти 100 м, мальчик отпускает собаку, и она начинает бегать между мальчиком и вершиной горы. Собака бежит к вершине со скоростью 3 м/с, а возвращается к мальчику со скоростью 5 м/с. Какой путь успеет пробежать собака до того, как мальчик достигнет вершины? Собака и мальчик двигаются прямолинейно.
Решение:
Длина отрезка $S_{с}$, который преодолевает собака за один пробег «туда-обратно», уменьшается до нуля по мере подхода мальчика к вершине, поэтому полный путь собаки складывается из большого количества всё уменьшающихся отрезков (см. рисунок). Однако отрезок пути $S$, который за каждый такой период проходит мальчик, также уменьшается. Можно заметить, что отношение путей мальчика и собаки $k = S_{с}/S$ за один период «туда-обратно» не меняется от пробега к пробегу. Так как полный путь мальчика 100 м, полный путь собаки в $k$ раз больше и равен $100 м \cdot S_{с}/S$. Найдём теперь $k$, рассмотрев произвольный пробег собаки до вершины и обратно. Обозначим скорость мальчика $V$, скорость собаки вверх по горе — $V_{1}$, вниз — $V_{2}$. Пусть в момент очередной встречи собаки с мальчиком их отделяет от вершины расстояние $L$, время до следующей встречи обозначим $t$. Время, за которое собака добегает до вершины равно $L/V_{1}$. Следовательно, собака вернётся от вершины к мальчику за время $(t - L/V_{1})$. Собака бежит до вершины расстояние $L$, затем встречает мальчика на расстоянии $l = V_{2} (t - L/V_{1})$ от вершины. Мальчик при этом проходит расстояние $Vt = L - l = L - V_{2}(t - L/V_{1})$. Из этого уравнения выражаем $t = L(1 + V_{2}/V_{1})/(V_{2} + V)$. Теперь, зная $t$, можно легко найти $S = Vt = 4 \cdot L/9, S_{с} = L + l = L + V_{2}(t - L/V_{1}) = 14 \cdot L/9$ и вычислить отношение $k = S_{с}/S = 7/2$. Таким образом, путь собаки равен $100 \cdot 7/2 = 350$ метров.
Примечание. То, что отношение путей собаки и мальчика $S_{с}/S$ за один период «туда-обратно» не меняется от пробега к пробегу можно обнаружить не только с помощью приведённых вычислений, но и графическим способом построив график зависимости от времени координаты мальчика и координаты собаки (ломаная OBCDEF ...) и заметив, что он состоит из пропорционально уменьшающихся треугольников.
Ответ. К тому времени, как мальчик достигнет вершины, собака успеет пробежать 350 м.
Мальчик поднимается в гору со скоростью 1 м/с. Когда до вершины остаётся идти 100 м, мальчик отпускает собаку, и она начинает бегать между мальчиком и вершиной горы. Собака бежит к вершине со скоростью 3 м/с, а возвращается к мальчику со скоростью 5 м/с. Какой путь успеет пробежать собака до того, как мальчик достигнет вершины? Собака и мальчик двигаются прямолинейно.
Решение:
Длина отрезка $S_{с}$, который преодолевает собака за один пробег «туда-обратно», уменьшается до нуля по мере подхода мальчика к вершине, поэтому полный путь собаки складывается из большого количества всё уменьшающихся отрезков (см. рисунок). Однако отрезок пути $S$, который за каждый такой период проходит мальчик, также уменьшается. Можно заметить, что отношение путей мальчика и собаки $k = S_{с}/S$ за один период «туда-обратно» не меняется от пробега к пробегу. Так как полный путь мальчика 100 м, полный путь собаки в $k$ раз больше и равен $100 м \cdot S_{с}/S$. Найдём теперь $k$, рассмотрев произвольный пробег собаки до вершины и обратно. Обозначим скорость мальчика $V$, скорость собаки вверх по горе — $V_{1}$, вниз — $V_{2}$. Пусть в момент очередной встречи собаки с мальчиком их отделяет от вершины расстояние $L$, время до следующей встречи обозначим $t$. Время, за которое собака добегает до вершины равно $L/V_{1}$. Следовательно, собака вернётся от вершины к мальчику за время $(t - L/V_{1})$. Собака бежит до вершины расстояние $L$, затем встречает мальчика на расстоянии $l = V_{2} (t - L/V_{1})$ от вершины. Мальчик при этом проходит расстояние $Vt = L - l = L - V_{2}(t - L/V_{1})$. Из этого уравнения выражаем $t = L(1 + V_{2}/V_{1})/(V_{2} + V)$. Теперь, зная $t$, можно легко найти $S = Vt = 4 \cdot L/9, S_{с} = L + l = L + V_{2}(t - L/V_{1}) = 14 \cdot L/9$ и вычислить отношение $k = S_{с}/S = 7/2$. Таким образом, путь собаки равен $100 \cdot 7/2 = 350$ метров.
Примечание. То, что отношение путей собаки и мальчика $S_{с}/S$ за один период «туда-обратно» не меняется от пробега к пробегу можно обнаружить не только с помощью приведённых вычислений, но и графическим способом построив график зависимости от времени координаты мальчика и координаты собаки (ломаная OBCDEF ...) и заметив, что он состоит из пропорционально уменьшающихся треугольников.
Ответ. К тому времени, как мальчик достигнет вершины, собака успеет пробежать 350 м.
