Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5306
2017-11-19 
Собирающую тонкую линзу с фокусным расстоянием $f$ освещают точечным источником, расположенным на оптической оси на расстоянии $a = 2f$ от линзы (см. рис.). За линзой в фокальной плоскости расположен экран. Определить площадь тени от линзы на экране. Линза представляет собой круг радиуса $R$.
Решение:
Из рисунка видно, что тень от линзы представляет собой кольцо; внешняя окружность кольца соответствует тени от ободка линзы, а светлое пятно в середине определяется ходом лучей сквозь собирающую линзу. Внешняя окружность кольца тени — круг радиуса $x_{1} = R(f + a)/a$, площадью $s_{1} = (f + a)^{2} \pi R^{2}/a^{2}$. Линза создаёт действительное изображение источника за экраном на расстоянии $a_{1}$ от линзы, определяющимся формулой $1/a + 1/a = 1/f$, так что $a_{1} = af/(a - f)$. Поэтому светлое пятно на экране также есть круг. Его радиус $x_{2} = R(a_{1} + f)/a_{1}$, площадью $s_{2} = (a_{1} - f)^{2} \pi R^{2}/a_{1}^{2}$. Итого, площадь тени есть $s_{1} - s_{2} = (2 + \alpha ) \pi R^{2}/ \alpha = 2 \pi R^{2}$ (здесь $\alpha = a/f = 2$).
Ответ. Площадь тени равна $2 \pi R^{2}$.
Собирающую тонкую линзу с фокусным расстоянием $f$ освещают точечным источником, расположенным на оптической оси на расстоянии $a = 2f$ от линзы (см. рис.). За линзой в фокальной плоскости расположен экран. Определить площадь тени от линзы на экране. Линза представляет собой круг радиуса $R$.
Решение:
Из рисунка видно, что тень от линзы представляет собой кольцо; внешняя окружность кольца соответствует тени от ободка линзы, а светлое пятно в середине определяется ходом лучей сквозь собирающую линзу. Внешняя окружность кольца тени — круг радиуса $x_{1} = R(f + a)/a$, площадью $s_{1} = (f + a)^{2} \pi R^{2}/a^{2}$. Линза создаёт действительное изображение источника за экраном на расстоянии $a_{1}$ от линзы, определяющимся формулой $1/a + 1/a = 1/f$, так что $a_{1} = af/(a - f)$. Поэтому светлое пятно на экране также есть круг. Его радиус $x_{2} = R(a_{1} + f)/a_{1}$, площадью $s_{2} = (a_{1} - f)^{2} \pi R^{2}/a_{1}^{2}$. Итого, площадь тени есть $s_{1} - s_{2} = (2 + \alpha ) \pi R^{2}/ \alpha = 2 \pi R^{2}$ (здесь $\alpha = a/f = 2$).
Ответ. Площадь тени равна $2 \pi R^{2}$.
