Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5302
2017-11-19 
Заряженной частице с массой $m$, помещённой в вакууме на границе двух областей, в которых созданы однородные магнитные поля $B_{1}$ и $B_{2}$ ($B_{2} > B_{1}$), сообщают начальную скорость $V_{0}$, направленную перпендикулярно границе раздела (см. рис.). При каких значениях заряда частицы её траектория пройдёт через точку $M$, расположенную на расстоянии $L$ от точки старта?
Решение:
Индукция магнитного поля — псевдовекторная величина, её направление определяется избранной системой отсчёта. Псевдовекторной величиной является и сила Лоренца, действующая на заряженные тела, движущиеся в магнитном поле. В зависимости от знака заряда направление силы Лоренца меняется на $\pi$. Это, в частности, приводит к тому, что при решении данной задачи требуется учесть два случая: положительного и отрицательного заряда. Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям, движется по дуге окружности, $R = qV/mB$. В рассматриваемой ситуации траектория частицы состоит из полудуг окружностей. Радиусы дуг в верхней полуплоскости больше, чем в нижней, поскольку $B_{2} > B_{1}$. В случае положительного заряда частицы ($q > 0$) центры образующих её траекторию дуг будут постепенно перемещаться. Пометим как X координаты точек пересечения траекторией границы раздела полей, $X_{2N} = 2(R_{2} - R_{1}) N, X_{2N + 1} = 2(R_{2} - R_{1})N + 2R_{2}$. Выпишем условие попадания в точку M положительно заряженной частицы: $X_{2N} = L$ — решений нет; $X_{2N + 1} = L$ — решение есть при $N = 0, \cdots , [B_{1}/(B_{2} - B_{1})]$ (прямоугольные скобки обозначают целую часть числа), при этом $q = 2mV ((N + 1)/B_{2} - N/B_{1})/L$. Чтобы число возможных решений $N$ было конечным, необходимо, чтобы $q > 0$. В случае отрицательно заряженной частицы ($q < 0$), центры образующих её траекторию дуг будут смещаться вправо. Теперь, будем обозначать $X$ — координаты точек нечётных и чётных пересечений границы: $X_{2N} = 2(R_{1} - R_{2})N, X_{2N + 1} = 2(R_{1} - R_{2})N - 2R_{2}$. Выпишем также аналогичное условие попадания в точку M для отрицательно заряженной частицы: $X_{2N} = L$ — решение есть при любом $N, q = - 2mV (N/B_{1} - N/B_{2})/L$; для $N > [B_{1} /(B_{2} - B_{1})], X_{2N + 1} = L$), при этом $q = - 2mV (N/B_{1} - (N + 1)/B_{2})/L$. Так же как и в предыдущем случае, требование $q < 0$ ограничивает набор допустимых целых значений $N$, для которых данное решение имеет смысл. В заключение, объединяя вместе оба решения, получаем две бесконечные серии решений, справедливые при целых неотрицательных $N$.
Ответ. Допустимыми значениями зарядов частицы даются двумя бесконечными сериями решений, справедливых для неотрицательных $N$.
Заряженной частице с массой $m$, помещённой в вакууме на границе двух областей, в которых созданы однородные магнитные поля $B_{1}$ и $B_{2}$ ($B_{2} > B_{1}$), сообщают начальную скорость $V_{0}$, направленную перпендикулярно границе раздела (см. рис.). При каких значениях заряда частицы её траектория пройдёт через точку $M$, расположенную на расстоянии $L$ от точки старта?
Решение:
Индукция магнитного поля — псевдовекторная величина, её направление определяется избранной системой отсчёта. Псевдовекторной величиной является и сила Лоренца, действующая на заряженные тела, движущиеся в магнитном поле. В зависимости от знака заряда направление силы Лоренца меняется на $\pi$. Это, в частности, приводит к тому, что при решении данной задачи требуется учесть два случая: положительного и отрицательного заряда. Заряженная частица, влетающая в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям, движется по дуге окружности, $R = qV/mB$. В рассматриваемой ситуации траектория частицы состоит из полудуг окружностей. Радиусы дуг в верхней полуплоскости больше, чем в нижней, поскольку $B_{2} > B_{1}$. В случае положительного заряда частицы ($q > 0$) центры образующих её траекторию дуг будут постепенно перемещаться. Пометим как X координаты точек пересечения траекторией границы раздела полей, $X_{2N} = 2(R_{2} - R_{1}) N, X_{2N + 1} = 2(R_{2} - R_{1})N + 2R_{2}$. Выпишем условие попадания в точку M положительно заряженной частицы: $X_{2N} = L$ — решений нет; $X_{2N + 1} = L$ — решение есть при $N = 0, \cdots , [B_{1}/(B_{2} - B_{1})]$ (прямоугольные скобки обозначают целую часть числа), при этом $q = 2mV ((N + 1)/B_{2} - N/B_{1})/L$. Чтобы число возможных решений $N$ было конечным, необходимо, чтобы $q > 0$. В случае отрицательно заряженной частицы ($q < 0$), центры образующих её траекторию дуг будут смещаться вправо. Теперь, будем обозначать $X$ — координаты точек нечётных и чётных пересечений границы: $X_{2N} = 2(R_{1} - R_{2})N, X_{2N + 1} = 2(R_{1} - R_{2})N - 2R_{2}$. Выпишем также аналогичное условие попадания в точку M для отрицательно заряженной частицы: $X_{2N} = L$ — решение есть при любом $N, q = - 2mV (N/B_{1} - N/B_{2})/L$; для $N > [B_{1} /(B_{2} - B_{1})], X_{2N + 1} = L$), при этом $q = - 2mV (N/B_{1} - (N + 1)/B_{2})/L$. Так же как и в предыдущем случае, требование $q < 0$ ограничивает набор допустимых целых значений $N$, для которых данное решение имеет смысл. В заключение, объединяя вместе оба решения, получаем две бесконечные серии решений, справедливые при целых неотрицательных $N$.
Ответ. Допустимыми значениями зарядов частицы даются двумя бесконечными сериями решений, справедливых для неотрицательных $N$.
