Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5300
2017-11-19 
Маленький шарик массы $m$, имеющий заряд $q$, влетает в точке A в цилиндр радиуса $R$ перпендикулярно к его поверхности. Внутри цилиндра имеется магнитное поле напряжённостью $B$, направленное вдоль оси цилиндра. Все соударения шарика с цилиндром упруги (см. рис.). Найдите возможные значения скорости шарика, если известно, что после некоторого числа соударений он возвращается в точку A.
Решение:
Траектория частицы внутри цилиндра состоит из кусков окружности. Если радиус этой окружности равен $r$, а скорость частицы $V$, то $mV^{2}/r = qVB$. Поскольку шарик возвращается в исходную точку, точки последовательного соударения частицы c цилиндром A и B должны быть видны из центра цилиндра O под углом $2 \beta = 2 \pi k /s$, где $k$ и $s$ — целые произвольные числа. Очевидно $\alpha = 90^{ \circ} C - \beta$ (частица влетает перпендикулярно к поверхности), $R \cdot \sin \beta = r \sin \beta \Rightarrow r = R \cdot tg( \pi k/s)$. Откуда получаются искомые значения скоростей, $V = qBR tg( \pi k/s)/m$, где $k, s$ — любые целые числа. Перебирая целые $k$ и $s$, можно добиться, чтобы со сколь угодной точностью $tg( \pi k/s)$ был равен любому наперёд заданному действительному числу.
Ответ. Возврат шарика в точку A может произойти при любой скорости.
Маленький шарик массы $m$, имеющий заряд $q$, влетает в точке A в цилиндр радиуса $R$ перпендикулярно к его поверхности. Внутри цилиндра имеется магнитное поле напряжённостью $B$, направленное вдоль оси цилиндра. Все соударения шарика с цилиндром упруги (см. рис.). Найдите возможные значения скорости шарика, если известно, что после некоторого числа соударений он возвращается в точку A.
Решение:
Траектория частицы внутри цилиндра состоит из кусков окружности. Если радиус этой окружности равен $r$, а скорость частицы $V$, то $mV^{2}/r = qVB$. Поскольку шарик возвращается в исходную точку, точки последовательного соударения частицы c цилиндром A и B должны быть видны из центра цилиндра O под углом $2 \beta = 2 \pi k /s$, где $k$ и $s$ — целые произвольные числа. Очевидно $\alpha = 90^{ \circ} C - \beta$ (частица влетает перпендикулярно к поверхности), $R \cdot \sin \beta = r \sin \beta \Rightarrow r = R \cdot tg( \pi k/s)$. Откуда получаются искомые значения скоростей, $V = qBR tg( \pi k/s)/m$, где $k, s$ — любые целые числа. Перебирая целые $k$ и $s$, можно добиться, чтобы со сколь угодной точностью $tg( \pi k/s)$ был равен любому наперёд заданному действительному числу.
Ответ. Возврат шарика в точку A может произойти при любой скорости.
