Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5298
2017-11-19 
На горизонтальную диэлектрическую спицу нанизаны две маленькие положительно заряженные бусинки с зарядом $q$ каждая и с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Спица вращается с некоторой частотой $\omega$ вокруг проходящей через её край вертикальной оси в однородном магнитном поле $B$, направленном вниз (см. рис.). Определите, где расположатся заряды, если масса ближней к центру частицы $m_{1} > m_{2}$? Силу трения считать пренебрежимо малой.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на бусинки. На первую, ближайшую к оси вращения бусинку действуют две силы, направленные к оси: сила Лоренца, $qB \omega x_{1}$, и кулоновская сила взаимодействия между бусинками, $kq^{2}/(x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$, (здесь $x_{1}$ и $x_{2}$ — расстояния от оси до стационарного положения первой и второй бусинок соответственно). На вторую бусинку также действуют две силы — сила Лоренца, $qB \omega x_{2}$, (направленная к оси) и кулоновская сила, $kq^{2}/(x_{2} - x_{1})^{2}$, (направленная от оси). В стационарном состоянии бусинки движутся по окружностям. В проекции на спицу, равенства сил выглядят так:
$m_{1} \omega^{2} x_{1} = qB \omega x_{1} + \frac{kq^{2}}{(x_{2} - x_{1})^{2}}, m_{2} \omega^{2} x_{2} = qB \omega x_{2} + \frac{kq^{2}}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$.
Перепишем полученные уравнения в следующем виде:
$b{1}x_{1} = \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}, b_{2}x_{2} = - \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$,
в котором мы ввели параметры $b_{1} = m_{1} \cdot \omega^{2}/kq^{2} - B \omega /kq$ и $b_{2} = m_{2} \cdot \omega^{2}/kq^{2} - B \omega /kq$. Параметр $b_{1} > 0$, если частота вращения $\omega > \omega_{1} = q \cdot B/m_{1}$ — циклотронной частоты первой бусинки, а при $\omega < \Omega_{1}$ параметр $b_{1} < 0$. Итак, в зависимости от того, как соотносится частота вращения бусинок $\omega$ с характерными частотами задачи $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2} ( \Omega_{1} < \Omega_{2})$, меняются знаки параметров $b_{1}$ и $b_{2}$, а значит и решения системы уравнений. При $\omega > \Omega_{2} (b_{2} > 0)$ действительных решений у системы не существует, так как левые части уравнений движения положительны, а правые — отрицательны. Поэтому при больших $\omega$ обе частицы улетают на бесконечность. При малых частотах вращения, $\omega < \Omega_{1}, (b_{2} < 0, b_{1} < 0)$ первое уравнение системы неприменимо. Первая частица установится на оси вращения ($x_{1} = 0$), причём кулоновскую силу, действующую на неё, будет компенсировать сила реакции оси, неучтённая в самом первом уравнении. Разрешая второе уравнение движения, которое остаётся справедливым, получим ответ:
$x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt[3]{ \frac{kq^{2}}{qB \omega - m_{2} \omega^{2}}}$.
Чтобы убедиться в устойчивости полученного решения, необходимо рассмотреть малый сдвиг частицы в окрестности найденной точки равновесия $x_{1,2} = x_{1,2} + \delta x_{1,2}$, разложить члены уравнений движения в ряд по $\delta x_{1,2}$ и убедиться, что ведущая поправка по $\delta x_{1,2}$ соответствует возвращающей силе. Такой анализ лежит за пределами школьной программы, поэтому ниже мы ограничимся лишь некоторыми оценочными соображениями об устойчивости рассматриваемой системы. Первая частица удерживается силой реакции оси и прижимающей к оси кулоновской силой. Положение частицы устойчиво. Сдвинем немного вторую частицу от центра. Тогда, отталкивающая её от центра сила Кулона ослабнет, а прижимающая к центру сила Лоренца увеличится, в результате, частица сместится обратно к центру. При случайном сдвиге к центру — ситуация противоположна. Положение второй частицы также устойчиво. Осталось рассмотреть ситуацию, когда $\Omega_{1} < \omega < \Omega_{2} (b_{2} < 0, b_{1} > 0)$. Складывая уравнения
$b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} = 0, b_{2}x_{2} = - \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$,
откуда находим:
$x_{2} = - \frac{b_{1}}{b_{2}} x_{1}, x_{2} = \sqrt[3]{ \frac{b_{1}^{2}}{ - b_{2} (b_{1} + b_{2})^{2}}}, x_{1} = \sqrt[3]{ \frac{b_{2}^{2}}{b_{1} (b_{1} + b_{2})^{2}}}$.
Полученное решение является неустойчивым. Действительно, если рассматривать обе частицы как единую систему, то, по отношению к этой системе, кулоновская сила оказывается внутренней, и уравнение движения для такой системы получается сложением исходных уравнений. Если сдвинуть обе частицы на одинаковое расстояние $\Delta$ от центра, то суммарная сила Лоренца уже не сможет обеспечить центростремительное ускорение:
$b_{1}(x_{1} + \Delta) + b_{2}(x_{2} + \Delta ) > 0$
так как по результатам предыдущего пункта $b_{1} > |b_{2}|$. В этом случае, обе частицы уйдут на бесконечность.
Ответ. Единственным устойчивым положением бусинок будет следующее: $x_{1} = 0, x_{2} = [kq^{2}/(qB \omega - m_{2} \omega^{2})]^{1/3}$. Оно реализуется при малых частотах вращения спицы, $\omega < qB/m_{1}$. Если частота вращения спицы превосходит циклотронную частоту первой бусины — бусины уходят на бесконечность.
На горизонтальную диэлектрическую спицу нанизаны две маленькие положительно заряженные бусинки с зарядом $q$ каждая и с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Спица вращается с некоторой частотой $\omega$ вокруг проходящей через её край вертикальной оси в однородном магнитном поле $B$, направленном вниз (см. рис.). Определите, где расположатся заряды, если масса ближней к центру частицы $m_{1} > m_{2}$? Силу трения считать пренебрежимо малой.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на бусинки. На первую, ближайшую к оси вращения бусинку действуют две силы, направленные к оси: сила Лоренца, $qB \omega x_{1}$, и кулоновская сила взаимодействия между бусинками, $kq^{2}/(x_{2}^{2} - x_{1}^{2})$, (здесь $x_{1}$ и $x_{2}$ — расстояния от оси до стационарного положения первой и второй бусинок соответственно). На вторую бусинку также действуют две силы — сила Лоренца, $qB \omega x_{2}$, (направленная к оси) и кулоновская сила, $kq^{2}/(x_{2} - x_{1})^{2}$, (направленная от оси). В стационарном состоянии бусинки движутся по окружностям. В проекции на спицу, равенства сил выглядят так:
$m_{1} \omega^{2} x_{1} = qB \omega x_{1} + \frac{kq^{2}}{(x_{2} - x_{1})^{2}}, m_{2} \omega^{2} x_{2} = qB \omega x_{2} + \frac{kq^{2}}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$.
Перепишем полученные уравнения в следующем виде:
$b{1}x_{1} = \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}, b_{2}x_{2} = - \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$,
в котором мы ввели параметры $b_{1} = m_{1} \cdot \omega^{2}/kq^{2} - B \omega /kq$ и $b_{2} = m_{2} \cdot \omega^{2}/kq^{2} - B \omega /kq$. Параметр $b_{1} > 0$, если частота вращения $\omega > \omega_{1} = q \cdot B/m_{1}$ — циклотронной частоты первой бусинки, а при $\omega < \Omega_{1}$ параметр $b_{1} < 0$. Итак, в зависимости от того, как соотносится частота вращения бусинок $\omega$ с характерными частотами задачи $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2} ( \Omega_{1} < \Omega_{2})$, меняются знаки параметров $b_{1}$ и $b_{2}$, а значит и решения системы уравнений. При $\omega > \Omega_{2} (b_{2} > 0)$ действительных решений у системы не существует, так как левые части уравнений движения положительны, а правые — отрицательны. Поэтому при больших $\omega$ обе частицы улетают на бесконечность. При малых частотах вращения, $\omega < \Omega_{1}, (b_{2} < 0, b_{1} < 0)$ первое уравнение системы неприменимо. Первая частица установится на оси вращения ($x_{1} = 0$), причём кулоновскую силу, действующую на неё, будет компенсировать сила реакции оси, неучтённая в самом первом уравнении. Разрешая второе уравнение движения, которое остаётся справедливым, получим ответ:
$x_{1} = 0, x_{2} = \sqrt[3]{ \frac{kq^{2}}{qB \omega - m_{2} \omega^{2}}}$.
Чтобы убедиться в устойчивости полученного решения, необходимо рассмотреть малый сдвиг частицы в окрестности найденной точки равновесия $x_{1,2} = x_{1,2} + \delta x_{1,2}$, разложить члены уравнений движения в ряд по $\delta x_{1,2}$ и убедиться, что ведущая поправка по $\delta x_{1,2}$ соответствует возвращающей силе. Такой анализ лежит за пределами школьной программы, поэтому ниже мы ограничимся лишь некоторыми оценочными соображениями об устойчивости рассматриваемой системы. Первая частица удерживается силой реакции оси и прижимающей к оси кулоновской силой. Положение частицы устойчиво. Сдвинем немного вторую частицу от центра. Тогда, отталкивающая её от центра сила Кулона ослабнет, а прижимающая к центру сила Лоренца увеличится, в результате, частица сместится обратно к центру. При случайном сдвиге к центру — ситуация противоположна. Положение второй частицы также устойчиво. Осталось рассмотреть ситуацию, когда $\Omega_{1} < \omega < \Omega_{2} (b_{2} < 0, b_{1} > 0)$. Складывая уравнения
$b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} = 0, b_{2}x_{2} = - \frac{1}{(x_{2} - x_{1})^{2}}$,
откуда находим:
$x_{2} = - \frac{b_{1}}{b_{2}} x_{1}, x_{2} = \sqrt[3]{ \frac{b_{1}^{2}}{ - b_{2} (b_{1} + b_{2})^{2}}}, x_{1} = \sqrt[3]{ \frac{b_{2}^{2}}{b_{1} (b_{1} + b_{2})^{2}}}$.
Полученное решение является неустойчивым. Действительно, если рассматривать обе частицы как единую систему, то, по отношению к этой системе, кулоновская сила оказывается внутренней, и уравнение движения для такой системы получается сложением исходных уравнений. Если сдвинуть обе частицы на одинаковое расстояние $\Delta$ от центра, то суммарная сила Лоренца уже не сможет обеспечить центростремительное ускорение:
$b_{1}(x_{1} + \Delta) + b_{2}(x_{2} + \Delta ) > 0$
так как по результатам предыдущего пункта $b_{1} > |b_{2}|$. В этом случае, обе частицы уйдут на бесконечность.
Ответ. Единственным устойчивым положением бусинок будет следующее: $x_{1} = 0, x_{2} = [kq^{2}/(qB \omega - m_{2} \omega^{2})]^{1/3}$. Оно реализуется при малых частотах вращения спицы, $\omega < qB/m_{1}$. Если частота вращения спицы превосходит циклотронную частоту первой бусины — бусины уходят на бесконечность.
