Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5297
2017-11-19 
Три концентрические металлические сферы с радиусами $R,2R,3R$ заряжены зарядами $q, - q$ и $q$ соответственно. Внутреннюю сферу (см. рис.) соединили очень тонким проводником с наружной сквозь маленькое отверстие в средней. Сколько тепла при этом выделилось?
Решение:
После соединения сфер проводником заряды на первой и третьей сферах перераспределятся так, чтобы потенциалы соединённых сфер сравнялись. В соответствии с этим перераспределением зарядов изменится и полная энергия системы. Задачу удобно решать, воспользовавшись энергетическими соображениями. Вычитая из начальной энергии (когда сферы не соединены) системы конечную энергию, которая получится после соединения, найдём выделившееся количество теплоты. В соответствии с теоремой Гаусса равномерно заряженная сфера радиуса $R$ с зарядом $Q$ создаёт на расстояниях $r = R$ такой же потенциал, как если бы весь заряд располагался в центре. На поверхности сферы ($r = R$) этот потенциал обращается в $\phi (R) = kQ/R$ и при дальнейшем приближении к центру остаётся постоянным и равным $kQ/R$ (так же в соответствии с теоремой Гаусса). Пусть на сферах радиусов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ (считая от центра) находятся заряды $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ соответственно. Найдём, какой потенциал создаёт эта система зарядов. Для нашей системы потенциал в каждой точке складывается из потенциалов, которые создаёт в этой точке каждая из сфер. В области $r = R_{1}$ первая сфера создаёт потенциал $kq_{1} /R_{1}$, вторая — потенциал $kq_{2}/R_{2}$, третья — потенциал $kq_{3}/R_{3}$. Таким образом, в области $r = R_{1}$ потенциал системы равен
$\Psi_{1}(q_{1}, q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{1}} + \frac{kq_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
В области $r = R_{2}$ потенциалы второй и третьей сфер останутся теми же, а потенциал первой сферы станет равен $kq_{1}/R_{2}$ (так как эти точки лежат уже снаружи от первой сферы). Поэтому
$\Psi_{2}(q_{1} q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{2}} + \frac{kq_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
Аналогично, в области $r = R_{3}$ потенциал системы равен
$\Psi_{3}(q_{1} q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{3}} + \frac{kq_{2}}{R_{3}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
Найдём энергию этой системы зарядов. Заряд $q_{1}$ первой сферы находятся в потенциале $\Psi_{1}$, заряд $q_{2}$ второй сферы — в потенциале $\Psi_{2}$, заряд $q_{3}$ третьей сферы — в потенциале $\Psi_{3}$.
$E = \frac{ q_{1} \Psi_{1} + q_{2} \Psi_{2} + q_{3} \Psi_{3}}{2} = \frac{kq_{1}^{2}}{2R_{1}} + \frac{kq_{2}^{2}}{2R_{2}} + \frac{kq_{1}q_{2}}{2R_{3}} + \frac{kq_{1}q_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{1}q_{3}}{R_{3}} + \frac{kq_{2}q_{3}}{R_{3}}$.
Здесь мы учли, что просто суммируя энергию всех зарядов, мы учтём энергию каждой пары зарядов дважды, поэтому в предыдущей формуле есть множитель 1/2. Подставляя в неё значения $q_{1} = q, q_{2} = - q, q_{3} = q$ и $R_{1} = R, R_{2} = 2R, R_{3} = 3R$, получаем начальную энергию нашей системы — $E_{Н} = 5/12 \cdot kq^{2}/R$. Чтобы узнать, как перераспределились заряды, нужно приравнять потенциалы $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$, положив $q_{2} = - q$ (заряд второй сферы не изменился), и
$\frac{kq_{1}}{R_{1}} - \frac{kq}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}} = \frac{kq_{1}}{R_{3}} - \frac{kq}{R_{3}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$
и $q_{3} + q_{1} = 2q$. Отсюда можно найти, что $q_{1} = q \cdot R_{1}(R_{3} - R_{2})/R_{2}(R_{3} - R_{1}) = q/4$ и $q_{3} = q + q \cdot R_{3}(R_{2} - R_{1})/R_{2}(R_{3} - R_{1}) = 7/4q$. Выражение для полной энергии системы в конце при этом даёт $E_{К} = 11/48 \cdot kq^{2}/R$. Разность $E_{К} - E_{н}$ даёт выделившуюся теплоту.
Ответ. При соединении внешней и внутренней сфер выделяется теплота $Q = 3/16 \cdot kq^{2}/R$.
Три концентрические металлические сферы с радиусами $R,2R,3R$ заряжены зарядами $q, - q$ и $q$ соответственно. Внутреннюю сферу (см. рис.) соединили очень тонким проводником с наружной сквозь маленькое отверстие в средней. Сколько тепла при этом выделилось?
Решение:
После соединения сфер проводником заряды на первой и третьей сферах перераспределятся так, чтобы потенциалы соединённых сфер сравнялись. В соответствии с этим перераспределением зарядов изменится и полная энергия системы. Задачу удобно решать, воспользовавшись энергетическими соображениями. Вычитая из начальной энергии (когда сферы не соединены) системы конечную энергию, которая получится после соединения, найдём выделившееся количество теплоты. В соответствии с теоремой Гаусса равномерно заряженная сфера радиуса $R$ с зарядом $Q$ создаёт на расстояниях $r = R$ такой же потенциал, как если бы весь заряд располагался в центре. На поверхности сферы ($r = R$) этот потенциал обращается в $\phi (R) = kQ/R$ и при дальнейшем приближении к центру остаётся постоянным и равным $kQ/R$ (так же в соответствии с теоремой Гаусса). Пусть на сферах радиусов $R_{1}, R_{2}, R_{3}$ (считая от центра) находятся заряды $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ соответственно. Найдём, какой потенциал создаёт эта система зарядов. Для нашей системы потенциал в каждой точке складывается из потенциалов, которые создаёт в этой точке каждая из сфер. В области $r = R_{1}$ первая сфера создаёт потенциал $kq_{1} /R_{1}$, вторая — потенциал $kq_{2}/R_{2}$, третья — потенциал $kq_{3}/R_{3}$. Таким образом, в области $r = R_{1}$ потенциал системы равен
$\Psi_{1}(q_{1}, q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{1}} + \frac{kq_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
В области $r = R_{2}$ потенциалы второй и третьей сфер останутся теми же, а потенциал первой сферы станет равен $kq_{1}/R_{2}$ (так как эти точки лежат уже снаружи от первой сферы). Поэтому
$\Psi_{2}(q_{1} q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{2}} + \frac{kq_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
Аналогично, в области $r = R_{3}$ потенциал системы равен
$\Psi_{3}(q_{1} q_{2}, q_{3}) = \frac{kq_{1}}{R_{3}} + \frac{kq_{2}}{R_{3}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$.
Найдём энергию этой системы зарядов. Заряд $q_{1}$ первой сферы находятся в потенциале $\Psi_{1}$, заряд $q_{2}$ второй сферы — в потенциале $\Psi_{2}$, заряд $q_{3}$ третьей сферы — в потенциале $\Psi_{3}$.
$E = \frac{ q_{1} \Psi_{1} + q_{2} \Psi_{2} + q_{3} \Psi_{3}}{2} = \frac{kq_{1}^{2}}{2R_{1}} + \frac{kq_{2}^{2}}{2R_{2}} + \frac{kq_{1}q_{2}}{2R_{3}} + \frac{kq_{1}q_{2}}{R_{2}} + \frac{kq_{1}q_{3}}{R_{3}} + \frac{kq_{2}q_{3}}{R_{3}}$.
Здесь мы учли, что просто суммируя энергию всех зарядов, мы учтём энергию каждой пары зарядов дважды, поэтому в предыдущей формуле есть множитель 1/2. Подставляя в неё значения $q_{1} = q, q_{2} = - q, q_{3} = q$ и $R_{1} = R, R_{2} = 2R, R_{3} = 3R$, получаем начальную энергию нашей системы — $E_{Н} = 5/12 \cdot kq^{2}/R$. Чтобы узнать, как перераспределились заряды, нужно приравнять потенциалы $\Psi_{1}$ и $\Psi_{3}$, положив $q_{2} = - q$ (заряд второй сферы не изменился), и
$\frac{kq_{1}}{R_{1}} - \frac{kq}{R_{2}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}} = \frac{kq_{1}}{R_{3}} - \frac{kq}{R_{3}} + \frac{kq_{3}}{R_{3}}$
и $q_{3} + q_{1} = 2q$. Отсюда можно найти, что $q_{1} = q \cdot R_{1}(R_{3} - R_{2})/R_{2}(R_{3} - R_{1}) = q/4$ и $q_{3} = q + q \cdot R_{3}(R_{2} - R_{1})/R_{2}(R_{3} - R_{1}) = 7/4q$. Выражение для полной энергии системы в конце при этом даёт $E_{К} = 11/48 \cdot kq^{2}/R$. Разность $E_{К} - E_{н}$ даёт выделившуюся теплоту.
Ответ. При соединении внешней и внутренней сфер выделяется теплота $Q = 3/16 \cdot kq^{2}/R$.
