Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5296
2017-11-19 
Два бесконечно длинных тонких стержня расположены в горизонтальной плоскости параллельно друг другу на расстоянии $2R$ и заряжены положительно с постоянной плотностью заряда на единицу длины $\sigma$. Вдоль вертикальной нити, туго натянутой посередине между стержнями, может без трения скользить отрицательно заряженная частица массой $m$. При каком заряде частицы её можно поднять вверх, медленно поднимая вверх стержни? Ускорение свободного падения — $g$. Электрическое поле заряженного стержня зависит от расстояния до него: $E(r) = \sigma /(2 \pi \epsilon_{0} r)$.
Решение:
Обозначим, $x$ — расстояние между частицей в положении равновесия и стержнями, $h$ — глубина, на которой частица будет находиться под стержнями, когда её будут поднимать, $Q$ — искомый заряд частицы. Если стержни медленно поднимать, возможно, что частица будет находиться в состоянии равновесия под действием силы тяжести $mg$ и кулоновских сил притяжения к каждому стержню $F_{KL}$. Итак, на частицу действуют силы, изображённые на следующем рисунке, причём $F_{KL} = \sigma \cdot |Q|/2 \pi \epsilon_{0} x$. Чтобы частица находилась в равновесии, сумма сил, действующих на неё, должна обращаться в ноль. В проекции на горизонтальную ось это условие тривиально выполняется из симметрии. В проекции на вертикальную ось оно даёт нам $mg = 2F_{KL} \cdot \cos \alpha = \sigma |Q| \cos \alpha / \pi \epsilon_{0} x$. Подставляя сюда найденные из геометрических соображений $x = (R^{2} + h^{2})^{1/2}$ и $\cos \alpha = h/x$, получаем квадратное уравнение для $h$,
$mg = \sigma |Q| h/2 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + h^{2})^{1/2}$.
Уравнение имеет два корня — положительный и отрицательный. Отрицательный корень соответствует случаю, когда частица расположена выше стержней — он неустойчивый. Положительный корень,
$h_{+} = R \frac{mg}{ \sqrt{ \frac{ \sigma^{2}Q^{2}}{ \pi^{2} \epsilon^{2}} - mg^{2}}}$.
устойчив и действителен (а следовательно, физичен), когда $m < \sigma^{2} Q^{2} / \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} g^{2}$.
Уточним вопрос устойчивости корней Исследуем, как ведёт себя правая часть уравнения, при случайном смещении частицы из положения равновесия. На графике показано поведение функции
$f(h/R) = (h/R)/(1 + (h/R)^{2})^{1/2}$,
выражающей функциональную зависимость от $h$ правой части полученного уравнения. Равновесие устойчиво, если при малом увеличении $h$ (при опускании частицы) функция $f$ увеличивается (кулоновская сила начинает сильнее тянуть вверх частицу), и наоборот, при небольшом уменьшении $h$ (при поднимании частицы) функция $f$ уменьшается (частицу начинает тянуть вверх слабее). Очевидно, что устойчивым является только положительный корень $h_{+}$.
Ответ. Частицу можно поднять, медленно поднимая стержни вверх, если $Q > m^{1/2} \pi \epsilon_{0} g / \sigma$.
Два бесконечно длинных тонких стержня расположены в горизонтальной плоскости параллельно друг другу на расстоянии $2R$ и заряжены положительно с постоянной плотностью заряда на единицу длины $\sigma$. Вдоль вертикальной нити, туго натянутой посередине между стержнями, может без трения скользить отрицательно заряженная частица массой $m$. При каком заряде частицы её можно поднять вверх, медленно поднимая вверх стержни? Ускорение свободного падения — $g$. Электрическое поле заряженного стержня зависит от расстояния до него: $E(r) = \sigma /(2 \pi \epsilon_{0} r)$.
Решение:
Обозначим, $x$ — расстояние между частицей в положении равновесия и стержнями, $h$ — глубина, на которой частица будет находиться под стержнями, когда её будут поднимать, $Q$ — искомый заряд частицы. Если стержни медленно поднимать, возможно, что частица будет находиться в состоянии равновесия под действием силы тяжести $mg$ и кулоновских сил притяжения к каждому стержню $F_{KL}$. Итак, на частицу действуют силы, изображённые на следующем рисунке, причём $F_{KL} = \sigma \cdot |Q|/2 \pi \epsilon_{0} x$. Чтобы частица находилась в равновесии, сумма сил, действующих на неё, должна обращаться в ноль. В проекции на горизонтальную ось это условие тривиально выполняется из симметрии. В проекции на вертикальную ось оно даёт нам $mg = 2F_{KL} \cdot \cos \alpha = \sigma |Q| \cos \alpha / \pi \epsilon_{0} x$. Подставляя сюда найденные из геометрических соображений $x = (R^{2} + h^{2})^{1/2}$ и $\cos \alpha = h/x$, получаем квадратное уравнение для $h$,
$mg = \sigma |Q| h/2 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + h^{2})^{1/2}$.
Уравнение имеет два корня — положительный и отрицательный. Отрицательный корень соответствует случаю, когда частица расположена выше стержней — он неустойчивый. Положительный корень,
$h_{+} = R \frac{mg}{ \sqrt{ \frac{ \sigma^{2}Q^{2}}{ \pi^{2} \epsilon^{2}} - mg^{2}}}$.
устойчив и действителен (а следовательно, физичен), когда $m < \sigma^{2} Q^{2} / \pi^{2} \epsilon_{0}^{2} g^{2}$.
Уточним вопрос устойчивости корней Исследуем, как ведёт себя правая часть уравнения, при случайном смещении частицы из положения равновесия. На графике показано поведение функции
$f(h/R) = (h/R)/(1 + (h/R)^{2})^{1/2}$,
выражающей функциональную зависимость от $h$ правой части полученного уравнения. Равновесие устойчиво, если при малом увеличении $h$ (при опускании частицы) функция $f$ увеличивается (кулоновская сила начинает сильнее тянуть вверх частицу), и наоборот, при небольшом уменьшении $h$ (при поднимании частицы) функция $f$ уменьшается (частицу начинает тянуть вверх слабее). Очевидно, что устойчивым является только положительный корень $h_{+}$.
Ответ. Частицу можно поднять, медленно поднимая стержни вверх, если $Q > m^{1/2} \pi \epsilon_{0} g / \sigma$.
