Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5295
2017-11-19 
В однородном магнитном поле, направленном вертикально вверх, под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $V$ запущена частица массы $m$ с зарядом $q$. На некоторой высоте над точкой старта частицы расположена горизонтальная плоскость (см. рис.). В результате упругого столкновения частицы с плоскостью её заряд уменьшился вдвое. Траектория частицы после соударения пересекает её траекторию частицы до соударения $N$ раз, причём одно из пересечений происходит в точке старта. Найти, на какой высоте расположена плоскость. Силой тяжести пренебречь. Индукция магнитного поля равна $B$.
Примечание. На рисунке оси Ox, Оy, Oz взаимно перпендикулярны.
Решение:
Обозначим $V_{z}$ — проекцию начальной скорости частицы на ось Oz. Опишем характер движения частицы до соударения с плоскостью. Вертикальная проекция скорости $V_{z} = V \sin \alpha$ сохраняется, так как в проекции на эту ось не действуют внешние силы. В проекции на горизонтальную плоскость частица движется по окружности с постоянной скоростью $V_{xy} = V \cos \alpha$. Таким образом, траектория движения частицы до столкновения — спираль. Скорость частицы по модулю постоянна, так как магнитная сила не совершает работы. Найдём параметры траектории частицы. Движение по окружности радиуса $R = Vm \cdot \cos \alpha /qB$ с периодом обращения $T = 2 \pi m/qB$ в плоскости Oxy обеспечивается силой Лоренца, $qB \cdot V_{xy} = m V_{xy}^{2} /R$. После столкновения с плоскостью траектория частицы осталась спиралью. Вертикальная компонента скорости в процессе удара изменила своё направление на противоположное. Так как заряд частицы уменьшился вдвое, радиус спирали и период обращения увеличился в 2 раза: $R^{ \prime} = 2R, T^{ \prime} = 2T$. Итак, до столкновения траектория частицы — спираль, намотанная на вертикальный цилиндр радиуса $R$, после столкновения траектория частицы — спираль, намотанная на вертикальный цилиндр радиуса $2R$. По условию задачи цилиндры имеют общую точку с координатами {$x = 0, y = 0, z = 0$} (точка старта, там, где траектории заведомо пересекаются). Следовательно, цилиндры касаются друг друга, имея общую вертикальную прямую, проходящую через начало координат. Поэтому понятно, что траектории до и после соударения с плоскостью могут пересекаться только над точкой старта. Частица до соударения оказывалась над точкой старта каждый раз, совершив полный оборот, т. е. через моменты времени $T, 2T, 3T, 4T, \cdots , nT$ после начала движения ($n$ — целое число оборотов, которое частица совершит до соударения). Зная вертикальную компоненту скорости частицы, легко понять, что частица до соударения окажется в эти моменты над точкой старта на высоте $TV \sin \alpha , 2TV \sin \alpha , 3TV \sin \alpha ,4TV \sin \alpha , \cdots , nTV \sin \alpha$ соответственно, причём верхняя точка $nTV \sin \alpha$ совпадает по высоте с расположением плоскости $nTV \sin \alpha = H$. После соударения период обращения частицы увеличился в 2 раза, следовательно, она будет совершать полный оборот в 2 раза медленнее и пролетает над точкой старта в 2 раза меньшее количество раз ($n/2$ раз), а именно в точках $H - 2TV \sin \alpha = (n - 2)TV \sin \alpha, (n - 4)TV \sin \alpha , (n - 6)TV \sin \alpha, \cdots , 2TV \sin \alpha, 0$. Во всех этих точках траектория частицы пересечёт саму себя.Так как число этих точек по условию равно $N$, следовательно, $n = 2N$.
Ответ. Плоскость расположена на высоте $H = 2NTV \cdot \sin \alpha = 4 \pi m \cdot NV \cdot \sin \alpha$
В однородном магнитном поле, направленном вертикально вверх, под углом $\alpha$ к горизонту со скоростью $V$ запущена частица массы $m$ с зарядом $q$. На некоторой высоте над точкой старта частицы расположена горизонтальная плоскость (см. рис.). В результате упругого столкновения частицы с плоскостью её заряд уменьшился вдвое. Траектория частицы после соударения пересекает её траекторию частицы до соударения $N$ раз, причём одно из пересечений происходит в точке старта. Найти, на какой высоте расположена плоскость. Силой тяжести пренебречь. Индукция магнитного поля равна $B$.
Примечание. На рисунке оси Ox, Оy, Oz взаимно перпендикулярны.
Решение:
Обозначим $V_{z}$ — проекцию начальной скорости частицы на ось Oz. Опишем характер движения частицы до соударения с плоскостью. Вертикальная проекция скорости $V_{z} = V \sin \alpha$ сохраняется, так как в проекции на эту ось не действуют внешние силы. В проекции на горизонтальную плоскость частица движется по окружности с постоянной скоростью $V_{xy} = V \cos \alpha$. Таким образом, траектория движения частицы до столкновения — спираль. Скорость частицы по модулю постоянна, так как магнитная сила не совершает работы. Найдём параметры траектории частицы. Движение по окружности радиуса $R = Vm \cdot \cos \alpha /qB$ с периодом обращения $T = 2 \pi m/qB$ в плоскости Oxy обеспечивается силой Лоренца, $qB \cdot V_{xy} = m V_{xy}^{2} /R$. После столкновения с плоскостью траектория частицы осталась спиралью. Вертикальная компонента скорости в процессе удара изменила своё направление на противоположное. Так как заряд частицы уменьшился вдвое, радиус спирали и период обращения увеличился в 2 раза: $R^{ \prime} = 2R, T^{ \prime} = 2T$. Итак, до столкновения траектория частицы — спираль, намотанная на вертикальный цилиндр радиуса $R$, после столкновения траектория частицы — спираль, намотанная на вертикальный цилиндр радиуса $2R$. По условию задачи цилиндры имеют общую точку с координатами {$x = 0, y = 0, z = 0$} (точка старта, там, где траектории заведомо пересекаются). Следовательно, цилиндры касаются друг друга, имея общую вертикальную прямую, проходящую через начало координат. Поэтому понятно, что траектории до и после соударения с плоскостью могут пересекаться только над точкой старта. Частица до соударения оказывалась над точкой старта каждый раз, совершив полный оборот, т. е. через моменты времени $T, 2T, 3T, 4T, \cdots , nT$ после начала движения ($n$ — целое число оборотов, которое частица совершит до соударения). Зная вертикальную компоненту скорости частицы, легко понять, что частица до соударения окажется в эти моменты над точкой старта на высоте $TV \sin \alpha , 2TV \sin \alpha , 3TV \sin \alpha ,4TV \sin \alpha , \cdots , nTV \sin \alpha$ соответственно, причём верхняя точка $nTV \sin \alpha$ совпадает по высоте с расположением плоскости $nTV \sin \alpha = H$. После соударения период обращения частицы увеличился в 2 раза, следовательно, она будет совершать полный оборот в 2 раза медленнее и пролетает над точкой старта в 2 раза меньшее количество раз ($n/2$ раз), а именно в точках $H - 2TV \sin \alpha = (n - 2)TV \sin \alpha, (n - 4)TV \sin \alpha , (n - 6)TV \sin \alpha, \cdots , 2TV \sin \alpha, 0$. Во всех этих точках траектория частицы пересечёт саму себя.Так как число этих точек по условию равно $N$, следовательно, $n = 2N$.
Ответ. Плоскость расположена на высоте $H = 2NTV \cdot \sin \alpha = 4 \pi m \cdot NV \cdot \sin \alpha$
