Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5294
2017-11-19 
Для описания электрических свойств нервного волокна (аксона) можно пользоваться следующей моделью: аксон представляет собой тонкостенную проводящую трубку с внутренним радиусом $r$ и толщиной $h$, причём $r \gg h$. Удельное сопротивление вещества трубки равно $r$. Какой ток протекает через аксон, если удельное сопротивление раствора в трубке — $\rho_{0}$, а разность потенциалов между раствором в трубке и внешней средой есть $U_{0}$?
Решение:
Неизбежное затухание электрического сигнала (разности потенциалов между сердцевиной нервного волокна и окружающей средой) вследствие конечного сопротивления клеточной мембраны приводит к необходимости существования механизма, усиливающего нервный импульс (создание хорошей изоляции нервных волокон привело бы к существенному утяжелению нервной системы). Как теперь хорошо известно, роль такого усилителя в нервных клетках играют несбалансированные друг с другом встречные диффузные потоки ионов Na и K, регулируемые клеточной мембраной, пропускание ионов которой носит селективный характер. Современные модели нервных аксонов значительно сложнее описанной простейшей схемы (например для правильного описания распространения короткого импульса в волокне необходим учёт наличия электрической ёмкости между его внутренней проводящей частью и внешней средой). Даже в рамках сделанных в условии приближений строгий расчёт входного сопротивления системы представляет весьма сложную задачу, по-видимому, решаемую только численными методами. Однако, в случае малой проводимости стенки, вполне правдоподобные оценки сопротивления можно получить, мысленно заменяя длинное непрерывное волокно бесконечной системой коротких ячеек (колец) со стремящейся к нулю толщиной $\Delta L$, каждая из которых содержит по два дискретных элемента: «продольное» сопротивление сердцевины волокна и «поперечное» сопротивление утечки через мембрану. «Продольное» сопротивление сердцевины такого кольца даётся выражением $\Delta R_{1} = \rho \cdot \Delta L/ \pi r^{2}$, а «поперечное» сопротивление утечки — выражением $\Delta R_{1} = \rho \cdot h / (2 \pi r \cdot \Delta L)$. Эквивалентная электрическая схема всего волокна имеет вид бесконечной цепочки, содержащей одинаковые звенья. Замена такой цепочки на ещё более простую эквивалентную схему позволяет получить уравнение для входного сопротивления: $R = \Delta R_{1} + R \cdot \Delta R_{2}/(R + \Delta R_{2})$.
Очевидно, что из двух корней последнего уравнения физический смысл имеет только положительный корень:
$R = \frac{ \Delta R_{1}}{2} + \sqrt{ \frac{ \Delta R_{1}^{2}}{4} + \Delta R_{1} \cdot \Delta R_{2} }$.
Устремляя к нулю длину звена цепочки, находим входное сопротивление волокна $R$ и втекающий в него ток $I = U_{0}/R$.
Ответ. Входное сопротивление нервного волокна в рассматриваемой модели равно $R = ( \rho \rho_{0} h / 2 \pi^{2} r^{3})^{1/2}$. Ток равен $I = U_{0} \cdot (2 \pi^{2} r^{3} / \rho \rho_{0} h)^{1/2}$.
Для описания электрических свойств нервного волокна (аксона) можно пользоваться следующей моделью: аксон представляет собой тонкостенную проводящую трубку с внутренним радиусом $r$ и толщиной $h$, причём $r \gg h$. Удельное сопротивление вещества трубки равно $r$. Какой ток протекает через аксон, если удельное сопротивление раствора в трубке — $\rho_{0}$, а разность потенциалов между раствором в трубке и внешней средой есть $U_{0}$?
Решение:
Неизбежное затухание электрического сигнала (разности потенциалов между сердцевиной нервного волокна и окружающей средой) вследствие конечного сопротивления клеточной мембраны приводит к необходимости существования механизма, усиливающего нервный импульс (создание хорошей изоляции нервных волокон привело бы к существенному утяжелению нервной системы). Как теперь хорошо известно, роль такого усилителя в нервных клетках играют несбалансированные друг с другом встречные диффузные потоки ионов Na и K, регулируемые клеточной мембраной, пропускание ионов которой носит селективный характер. Современные модели нервных аксонов значительно сложнее описанной простейшей схемы (например для правильного описания распространения короткого импульса в волокне необходим учёт наличия электрической ёмкости между его внутренней проводящей частью и внешней средой). Даже в рамках сделанных в условии приближений строгий расчёт входного сопротивления системы представляет весьма сложную задачу, по-видимому, решаемую только численными методами. Однако, в случае малой проводимости стенки, вполне правдоподобные оценки сопротивления можно получить, мысленно заменяя длинное непрерывное волокно бесконечной системой коротких ячеек (колец) со стремящейся к нулю толщиной $\Delta L$, каждая из которых содержит по два дискретных элемента: «продольное» сопротивление сердцевины волокна и «поперечное» сопротивление утечки через мембрану. «Продольное» сопротивление сердцевины такого кольца даётся выражением $\Delta R_{1} = \rho \cdot \Delta L/ \pi r^{2}$, а «поперечное» сопротивление утечки — выражением $\Delta R_{1} = \rho \cdot h / (2 \pi r \cdot \Delta L)$. Эквивалентная электрическая схема всего волокна имеет вид бесконечной цепочки, содержащей одинаковые звенья. Замена такой цепочки на ещё более простую эквивалентную схему позволяет получить уравнение для входного сопротивления: $R = \Delta R_{1} + R \cdot \Delta R_{2}/(R + \Delta R_{2})$.
Очевидно, что из двух корней последнего уравнения физический смысл имеет только положительный корень:
$R = \frac{ \Delta R_{1}}{2} + \sqrt{ \frac{ \Delta R_{1}^{2}}{4} + \Delta R_{1} \cdot \Delta R_{2} }$.
Устремляя к нулю длину звена цепочки, находим входное сопротивление волокна $R$ и втекающий в него ток $I = U_{0}/R$.
Ответ. Входное сопротивление нервного волокна в рассматриваемой модели равно $R = ( \rho \rho_{0} h / 2 \pi^{2} r^{3})^{1/2}$. Ток равен $I = U_{0} \cdot (2 \pi^{2} r^{3} / \rho \rho_{0} h)^{1/2}$.
