Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5293
2017-11-19 
Заряженная частица $(q, m)$ может скользить без трения по проволочному кольцу радиусом $R$, расположенному вертикально (см. рис.). Какое вертикальное электрическое поле нужно приложить, чтобы частота малых колебаний частицы уменьшилась в два раза?
Решение:
Поскольку шарик движется по дуге окружности, рассматриваемая механическая система подобна маятнику, укреплённому на невесомой нерастяжимой нити длиной $R$. Роль натяжения нити играет сила реакции опоры, направленная перпендикулярно проволоке, т. е. к центру кольца. При отсутствии электрического поля положение устойчивого равновесия шарика находится в нижней точке кольца, вблизи него и возможны колебания. Их уравнение имеет стандартный вид:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$.
В случае малой амплитуды происходят гармонические колебания с круговой частотой, $\omega_{0} = \sqrt{g}/ \sqrt{R}$. При включении электрического поля уравнение движения шарика приобретает более сложный вид:
$m \vec{a} = m \vec{G} + \vec{N}, \vec{G} = \vec{g} + q \vec{E}/m$.
Частота малых колебаний в этом случае определяется формулой $\omega_{1} = \sqrt{G}/ \sqrt{R}$, где ускорение свободного падения заменено на модуль вектора $G$ (сумма гравитационной и электрической силы может быть направлена как вниз, так и вверх). Условие уменьшения частоты колебаний вдвое приводит к очевидному уравнению на величину напряжённости электрического поля $E$:
$|G| = |g + qE/m| = g/4$.
Оно имеет два решения, соответствующие противоположным направлениям вектора $G$. Первое решение, $E = - 3 \cdot mg/4q$, соответствует колебаниям шарика в нижней части кольца: $g + qE/m = g/4$. Второе решение, $E = - 5 \cdot mg /4q$, — колебаниям шарика в верхней точке кольца: $g + qE/m = - g/4$. Заметим, что в отличие от обычного математического маятника, для которого верхнее положение является всегда неустойчивым, при включении электрического поля, верхнее положение может стать устойчивым. Знак «-» в полученных выражениях напоминает о том, что электрическое поле должно быть направлено так, чтобы обусловленная им сила была противоположна силе тяжести.
Ответ. Возможно два значения величины вектора напряжённости электрического поля: $E = 3mg /4q$ или $E = 5 mg/4q$. При $q > 0$ вектор $\vec{E}4 должен быть направлен вверх, в противном случае — вниз.
Заряженная частица $(q, m)$ может скользить без трения по проволочному кольцу радиусом $R$, расположенному вертикально (см. рис.). Какое вертикальное электрическое поле нужно приложить, чтобы частота малых колебаний частицы уменьшилась в два раза?
Решение:
Поскольку шарик движется по дуге окружности, рассматриваемая механическая система подобна маятнику, укреплённому на невесомой нерастяжимой нити длиной $R$. Роль натяжения нити играет сила реакции опоры, направленная перпендикулярно проволоке, т. е. к центру кольца. При отсутствии электрического поля положение устойчивого равновесия шарика находится в нижней точке кольца, вблизи него и возможны колебания. Их уравнение имеет стандартный вид:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}$.
В случае малой амплитуды происходят гармонические колебания с круговой частотой, $\omega_{0} = \sqrt{g}/ \sqrt{R}$. При включении электрического поля уравнение движения шарика приобретает более сложный вид:
$m \vec{a} = m \vec{G} + \vec{N}, \vec{G} = \vec{g} + q \vec{E}/m$.
Частота малых колебаний в этом случае определяется формулой $\omega_{1} = \sqrt{G}/ \sqrt{R}$, где ускорение свободного падения заменено на модуль вектора $G$ (сумма гравитационной и электрической силы может быть направлена как вниз, так и вверх). Условие уменьшения частоты колебаний вдвое приводит к очевидному уравнению на величину напряжённости электрического поля $E$:
$|G| = |g + qE/m| = g/4$.
Оно имеет два решения, соответствующие противоположным направлениям вектора $G$. Первое решение, $E = - 3 \cdot mg/4q$, соответствует колебаниям шарика в нижней части кольца: $g + qE/m = g/4$. Второе решение, $E = - 5 \cdot mg /4q$, — колебаниям шарика в верхней точке кольца: $g + qE/m = - g/4$. Заметим, что в отличие от обычного математического маятника, для которого верхнее положение является всегда неустойчивым, при включении электрического поля, верхнее положение может стать устойчивым. Знак «-» в полученных выражениях напоминает о том, что электрическое поле должно быть направлено так, чтобы обусловленная им сила была противоположна силе тяжести.
Ответ. Возможно два значения величины вектора напряжённости электрического поля: $E = 3mg /4q$ или $E = 5 mg/4q$. При $q > 0$ вектор $\vec{E}4 должен быть направлен вверх, в противном случае — вниз.
