Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5292
2017-11-19 
Две частицы, имеющие заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ и равные массы, могут скользить без трения вдоль двух параллельных прямых, расположенных на расстоянии $L$ (см. рис.). В начальный момент частица $q_{1}$ движется со скоростью $V_{0}$ из бесконечности, приближаясь к покоящейся частице $q_{2}$. Определить установившиеся скорости частиц.
Решение:
Попытка решения задачи на основе законов Ньютона привела бы к существенным математическим трудностям Воспользуемся законом сохранения механической энергии $K + U = const$, учтя кинетическую энергию движения частиц $K$ и потенциальную энергию электростатического взаимодействия между ними $U$ (электростатические силы являются потенциальными; эффектами, связанными и излучением ускоренно движущимися зарядами пренебрегаем), и законом сохранения проекции суммарного импульса системы на направление возможного движения частиц — ось x (вдоль этого направления действуют только внутренние силы). Из сохранения x-проекции импульса $(P_{S})_{X} = const$ и условия равенства масс частиц следует, что сумма скоростей частиц должна сохраняться во времени. Поскольку в случае нестационарного решения, соответствующего «неупругому столкновению» скорости обеих частиц должны стать одинаковыми, их величина должна составлять половину начальной скорости налетающей частицы. В этом случае закон сохранения энергии приобретает вид:
$\frac{ mV_{0}^{2}}{2} = 2 \frac{m(V_{0} / 2)^{2}}{2} + k \frac{q_{1} q_{2}}{L}$,
откуда немедленно следует условие для величин зарядов частиц $q_{1} \cdot q_{2} = L \cdot m V_{0}^{2}/4k$. Частицы должны иметь одноимённые заряды. Если это условие не выполняется, система придёт в стационарное состояние лишь когда частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, что соответствует обращению в нуль потенциальной энергии их взаимодействия. В этом случае законы сохранения энергии и импульса формально принимают тот же вид, что и в случае абсолютно упругого лобового столкновения двух шаров одинаковой массы. Возможное решение такой задачи хорошо известно из элементарного курса физики: одно из тел должно остановиться, а другое, в итоге, приобретёт начальную скорость первого.
Начнём с рассмотрения случая одноимённо заряженных частиц. Поскольку между ними действуют силы отталкивания, остановка исходно двигавшейся частицы возможна только, если она не обгонит покоившуюся (в противном случае, после прохождения точки максимального сближения, сила отталкивания начнёт ускорять первую частицу). При условии $q_{1} \cdot q_{2} > L m V_{0}^{2} / 4k$, соответствующему более эффективному отталкиванию частиц, имеем: ($V_{1}( \infty ) = 0, V_{2}( \infty ) = V_{0}$}. При обратном неравенстве, $q_{1} \cdot q_{2} < L \cdot mV_{0}^{2}/4k$, реализуется решение {$V_{2}( \infty ) = 0, V_{1}( \infty ) = V_{0}$}. Налетающая из бесконечности частица обгонит покоившуюся и после некоторого торможения, сопровождающего сближение частиц, начнёт вновь разгоняться вплоть до приобретения своей начальной скорости.
В случае частиц, имеющих разноименные заряды, кинетическая энергия налетающей из бесконечности частицы будет возрастать на этапе сближения и уменьшаться при разлёте, её изменение равно работе электростатических сил. Из симметрии следует, что работы этих сил при разгоне и торможении будут равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, налетающая частица, в конечном итоге, приобретёт прежнюю скорость.
Приведённые рассуждения допускают наглядную геометрическую интерпретацию. Дело в том, что закон сохранения энергии задаёт симметричную поверхность в пространстве с координатами {$q_{1}, q_{2}, V_{0}$}, которая называется гиперболоидом. Часть этой поверхности (c $V_{0} > 0$) представлена на рисунке. Каждое горизонтальное сечение такой фигуры, соответствующее некоторому уровню кинетической энергии налетающей частицы, представляет собой две гиперболы в плоскости {$q_{1}, q_{2}$}. Каждая система двух частиц с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ задаётся точкой в плоскости {$q_{1}, q_{2}$}. Если соответствующая точка попадает в пространство между гиперболами (крыльями гиперболоида, изображёнными на рисунке), то частицы асимптотически не взаимодействуют, возвращаясь на бесконечности в свои исходные состояния. Если точка попадает внутрь одного из крыльев гиперболоида — частицы обмениваются состояниями. Наконец, если точка оказывается в точности на поверхности гиперболоида, взаимодействующие частицы делят начальную кинетическую энергию поровну.
Ответ. Если заряды частиц таковы, что $q_{1} \cdot q_{2} < L \cdot mV_{0}^{2}/4k$ — налетающая из бесконечности частица восстановит свою начальную скорость, а первоначально покоившаяся частица остановится. Если $q_{1} \cdot q_{2} = L \cdot mV_{0}^{2} / 4k$, то обе частицы приобретут одинаковые скорости, равные половине начальной. Наконец, в случае $q_{1} \cdot q_{2} > L \cdot mV_{0}^{2}/4k$, налетающая частица остановится, а её скорость приобретёт покоившаяся.
Две частицы, имеющие заряды $q_{1}$ и $q_{2}$ и равные массы, могут скользить без трения вдоль двух параллельных прямых, расположенных на расстоянии $L$ (см. рис.). В начальный момент частица $q_{1}$ движется со скоростью $V_{0}$ из бесконечности, приближаясь к покоящейся частице $q_{2}$. Определить установившиеся скорости частиц.
Решение:
Попытка решения задачи на основе законов Ньютона привела бы к существенным математическим трудностям Воспользуемся законом сохранения механической энергии $K + U = const$, учтя кинетическую энергию движения частиц $K$ и потенциальную энергию электростатического взаимодействия между ними $U$ (электростатические силы являются потенциальными; эффектами, связанными и излучением ускоренно движущимися зарядами пренебрегаем), и законом сохранения проекции суммарного импульса системы на направление возможного движения частиц — ось x (вдоль этого направления действуют только внутренние силы). Из сохранения x-проекции импульса $(P_{S})_{X} = const$ и условия равенства масс частиц следует, что сумма скоростей частиц должна сохраняться во времени. Поскольку в случае нестационарного решения, соответствующего «неупругому столкновению» скорости обеих частиц должны стать одинаковыми, их величина должна составлять половину начальной скорости налетающей частицы. В этом случае закон сохранения энергии приобретает вид:
$\frac{ mV_{0}^{2}}{2} = 2 \frac{m(V_{0} / 2)^{2}}{2} + k \frac{q_{1} q_{2}}{L}$,
откуда немедленно следует условие для величин зарядов частиц $q_{1} \cdot q_{2} = L \cdot m V_{0}^{2}/4k$. Частицы должны иметь одноимённые заряды. Если это условие не выполняется, система придёт в стационарное состояние лишь когда частицы находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, что соответствует обращению в нуль потенциальной энергии их взаимодействия. В этом случае законы сохранения энергии и импульса формально принимают тот же вид, что и в случае абсолютно упругого лобового столкновения двух шаров одинаковой массы. Возможное решение такой задачи хорошо известно из элементарного курса физики: одно из тел должно остановиться, а другое, в итоге, приобретёт начальную скорость первого.
Начнём с рассмотрения случая одноимённо заряженных частиц. Поскольку между ними действуют силы отталкивания, остановка исходно двигавшейся частицы возможна только, если она не обгонит покоившуюся (в противном случае, после прохождения точки максимального сближения, сила отталкивания начнёт ускорять первую частицу). При условии $q_{1} \cdot q_{2} > L m V_{0}^{2} / 4k$, соответствующему более эффективному отталкиванию частиц, имеем: ($V_{1}( \infty ) = 0, V_{2}( \infty ) = V_{0}$}. При обратном неравенстве, $q_{1} \cdot q_{2} < L \cdot mV_{0}^{2}/4k$, реализуется решение {$V_{2}( \infty ) = 0, V_{1}( \infty ) = V_{0}$}. Налетающая из бесконечности частица обгонит покоившуюся и после некоторого торможения, сопровождающего сближение частиц, начнёт вновь разгоняться вплоть до приобретения своей начальной скорости.
В случае частиц, имеющих разноименные заряды, кинетическая энергия налетающей из бесконечности частицы будет возрастать на этапе сближения и уменьшаться при разлёте, её изменение равно работе электростатических сил. Из симметрии следует, что работы этих сил при разгоне и торможении будут равны друг другу по абсолютной величине. Следовательно, налетающая частица, в конечном итоге, приобретёт прежнюю скорость.
Приведённые рассуждения допускают наглядную геометрическую интерпретацию. Дело в том, что закон сохранения энергии задаёт симметричную поверхность в пространстве с координатами {$q_{1}, q_{2}, V_{0}$}, которая называется гиперболоидом. Часть этой поверхности (c $V_{0} > 0$) представлена на рисунке. Каждое горизонтальное сечение такой фигуры, соответствующее некоторому уровню кинетической энергии налетающей частицы, представляет собой две гиперболы в плоскости {$q_{1}, q_{2}$}. Каждая система двух частиц с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ задаётся точкой в плоскости {$q_{1}, q_{2}$}. Если соответствующая точка попадает в пространство между гиперболами (крыльями гиперболоида, изображёнными на рисунке), то частицы асимптотически не взаимодействуют, возвращаясь на бесконечности в свои исходные состояния. Если точка попадает внутрь одного из крыльев гиперболоида — частицы обмениваются состояниями. Наконец, если точка оказывается в точности на поверхности гиперболоида, взаимодействующие частицы делят начальную кинетическую энергию поровну.
Ответ. Если заряды частиц таковы, что $q_{1} \cdot q_{2} < L \cdot mV_{0}^{2}/4k$ — налетающая из бесконечности частица восстановит свою начальную скорость, а первоначально покоившаяся частица остановится. Если $q_{1} \cdot q_{2} = L \cdot mV_{0}^{2} / 4k$, то обе частицы приобретут одинаковые скорости, равные половине начальной. Наконец, в случае $q_{1} \cdot q_{2} > L \cdot mV_{0}^{2}/4k$, налетающая частица остановится, а её скорость приобретёт покоившаяся.
