Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5289
2017-11-19 
В катушке индуктивности, в вакууме, расположены на одной прямой положительно заряженные частицы (см. рис.). Сначала ток через катушку не течёт, частицы покоятся (электростатическое взаимодействие между частицами можно считать пренебрежимо малым). Через катушку начинают пропускать ток, так что магнитное поле B внутри катушки за малый промежуток времени $\Delta t$ увеличивается до значения $B_{0}$ (график $B(t)$ см. на рис.). Опишите траектории частиц и их взаимное расположение через время $t$ после включения поля. Считайте, что взаимодействие частиц друг с другом пренебрежимо мало по сравнению с взаимодействием с катушкой на протяжении всего движения. Поле направлено «за рисунок», силой тяжести пренебречь.
Решение:
Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, которое, воздействуя на заряженные частицы в течение времени $\Delta t$, сообщает им некоторую скорость. После того, как магнитное поле полностью включилось, разогнанные электрическим полем частицы начинают двигаться в нём вдоль некоторых окружностей. Рассмотрим в качестве контура окружность радиуса $x$ в катушке. Обозначим величину напряжённости вихревого поля на этой окружности $\vec{E}(x)$. Это поле создаёт ЭДС индукции в нашем контуре, равную по модулю $|U| = 2 \pi xE$. С другой стороны, ЭДС индукции нашего контура связана с изменением потока магнитного поля через контур по закону $U = - \Delta \Phi / \Delta t = - \pi x^{2} B_{0}/ \Delta t$. Отсюда можно найти $E = B_{0}/(2x \cdot \Delta t)$. На заряженную частицу, находящуюся на расстоянии $x$ от центра, таким образом, действует электрическая сила $F_{KL} = qE$, которая за время $\Delta t$ придаёт заряду импульс $p = F_{KL} \cdot \Delta t = qx \cdot B_{0}/2$. Если задана масса частицы $m$, то её скорость $V = qqB_{0}/2m$. Далее частица будет двигаться под действием силы Лоренца $qVB_{0}$ по окружности радиуса $x/2$ с одинаковой угловой скоростью. Предположим, что через некоторое время все частицы, двигаясь каждая по своей окружности с центрами в точках $A_{1}$ и $A_{2}$, преодолели угол $\alpha$ и оказались в точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Тогда все они будут лежать на одной прямой, образующей угол $\alpha /2$ с прямой, соединявшей их до начала движения ($ \angle B_{1}OA_{1} = \angle B_{2}OA_{2} = \alpha /2$, как углы опирающиеся на дугу с центральным углом). Итак, все частицы будут находиться на одной прямой.
Ответ. Траектории частиц суть окружности различных радиусов, соприкасающиеся в точке O. Все частицы в каждый момент времени расположены вдоль одной прямой.
В катушке индуктивности, в вакууме, расположены на одной прямой положительно заряженные частицы (см. рис.). Сначала ток через катушку не течёт, частицы покоятся (электростатическое взаимодействие между частицами можно считать пренебрежимо малым). Через катушку начинают пропускать ток, так что магнитное поле B внутри катушки за малый промежуток времени $\Delta t$ увеличивается до значения $B_{0}$ (график $B(t)$ см. на рис.). Опишите траектории частиц и их взаимное расположение через время $t$ после включения поля. Считайте, что взаимодействие частиц друг с другом пренебрежимо мало по сравнению с взаимодействием с катушкой на протяжении всего движения. Поле направлено «за рисунок», силой тяжести пренебречь.
Решение:
Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, которое, воздействуя на заряженные частицы в течение времени $\Delta t$, сообщает им некоторую скорость. После того, как магнитное поле полностью включилось, разогнанные электрическим полем частицы начинают двигаться в нём вдоль некоторых окружностей. Рассмотрим в качестве контура окружность радиуса $x$ в катушке. Обозначим величину напряжённости вихревого поля на этой окружности $\vec{E}(x)$. Это поле создаёт ЭДС индукции в нашем контуре, равную по модулю $|U| = 2 \pi xE$. С другой стороны, ЭДС индукции нашего контура связана с изменением потока магнитного поля через контур по закону $U = - \Delta \Phi / \Delta t = - \pi x^{2} B_{0}/ \Delta t$. Отсюда можно найти $E = B_{0}/(2x \cdot \Delta t)$. На заряженную частицу, находящуюся на расстоянии $x$ от центра, таким образом, действует электрическая сила $F_{KL} = qE$, которая за время $\Delta t$ придаёт заряду импульс $p = F_{KL} \cdot \Delta t = qx \cdot B_{0}/2$. Если задана масса частицы $m$, то её скорость $V = qqB_{0}/2m$. Далее частица будет двигаться под действием силы Лоренца $qVB_{0}$ по окружности радиуса $x/2$ с одинаковой угловой скоростью. Предположим, что через некоторое время все частицы, двигаясь каждая по своей окружности с центрами в точках $A_{1}$ и $A_{2}$, преодолели угол $\alpha$ и оказались в точках $B_{1}$ и $B_{2}$. Тогда все они будут лежать на одной прямой, образующей угол $\alpha /2$ с прямой, соединявшей их до начала движения ($ \angle B_{1}OA_{1} = \angle B_{2}OA_{2} = \alpha /2$, как углы опирающиеся на дугу с центральным углом). Итак, все частицы будут находиться на одной прямой.
Ответ. Траектории частиц суть окружности различных радиусов, соприкасающиеся в точке O. Все частицы в каждый момент времени расположены вдоль одной прямой.
