Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5288
2017-11-19 
Лента транспортёра массой $M$ длиной $L$ натянута вокруг двух неподвижных цилиндров радиуса $R$. В середине транспортёр пересекает большую металлическую заряженную плоскость. На противоположных концах ленты закреплены два легких шарика (см. рис.). Лента разгоняется за счёт того, что каждый раз, когда один из шариков проходит точку A, ему сообщают заряд $- q$. Затем, в точке В,сразу за плоскостью, шарику сообщают заряд $+q$, а в точке C шарик заряд теряет. Первоначально лента покоится, один из шариков находится в точке A. Какой станет скорость транспортёра через 10 полных оборотов? Трением ленты о цилиндры пренебречь, плотность заряда плоскости $+ \sigma$.
Решение:
Бесконечная металлическая пластина создаёт поле $E = \sigma /2 \epsilon_{0}$. Однако, заряженный шарик влияет на распределение электронов на пластине, создавая в ней своё «изображение». Если шарик с зарядом $- q$ находится на расстоянии $l$ от пластины, то поле пластины со стороны шарика, согласно методу зеркальных изображений, будет суперпозицией поля $\vec{E}$ и поля точечного заряда $+q$, находящегося за пластиной симметрично шарику. Когда шарик находится в точке A, его расстояние до пластины равно $l = (L - 2 \pi R)/4$. Таким образом, энергия электростатического взаимодействия пластины и шарика в точке A равна $W_{A} = - qE \cdot l + W_{0}$, где $W_{0} = - k \cdot q^{2} /(4 \cdot l)$. Когда шарик находится в точке B, его энергия взаимодействия с пластиной $W_{B}$ изменится: первое слагаемое целиком перейдёт в кинетическую энергию. Второе слагаемое тоже изменится, но вычислить это изменение мы не можем, поскольку формально в точке B выражение для $W_{0} (l =0)$ обращается в бесконечность. Обозначим изменение энергии, связанное с этим слагаемым, через $\Delta W$. Тогда часть энергии $W_{B} - W_{A} = qE \cdot l + \Delta W$ перешла в кинетическую энергию ленты. Рассматривая аналогично перемещение шарика из точки B в точку C получим, что на этом этапе в кинетическую энергию перешло $W_{C} - W_{B} = qE \cdot l - \Delta W$. За половину оборота транспортёра, когда шарик переместился из точки A в точку C, лента приобрела кинетическую энергию $2qE \cdot l$. За 10 оборотов лента транспортёра приобретёт кинетическую энергию $40qE \cdot l = MV^{2}/2$, что соответствует скорости $V = (80qE \cdot l/M)^{1/2}$.
Ответ. Через 10 оборотов скорость транспортёра станет равна
$V = \sqrt{ \frac{10q \cdot \sigma (L - 2 \pi R)}{M \epsilon_{0}}}$.
Лента транспортёра массой $M$ длиной $L$ натянута вокруг двух неподвижных цилиндров радиуса $R$. В середине транспортёр пересекает большую металлическую заряженную плоскость. На противоположных концах ленты закреплены два легких шарика (см. рис.). Лента разгоняется за счёт того, что каждый раз, когда один из шариков проходит точку A, ему сообщают заряд $- q$. Затем, в точке В,сразу за плоскостью, шарику сообщают заряд $+q$, а в точке C шарик заряд теряет. Первоначально лента покоится, один из шариков находится в точке A. Какой станет скорость транспортёра через 10 полных оборотов? Трением ленты о цилиндры пренебречь, плотность заряда плоскости $+ \sigma$.
Решение:
Бесконечная металлическая пластина создаёт поле $E = \sigma /2 \epsilon_{0}$. Однако, заряженный шарик влияет на распределение электронов на пластине, создавая в ней своё «изображение». Если шарик с зарядом $- q$ находится на расстоянии $l$ от пластины, то поле пластины со стороны шарика, согласно методу зеркальных изображений, будет суперпозицией поля $\vec{E}$ и поля точечного заряда $+q$, находящегося за пластиной симметрично шарику. Когда шарик находится в точке A, его расстояние до пластины равно $l = (L - 2 \pi R)/4$. Таким образом, энергия электростатического взаимодействия пластины и шарика в точке A равна $W_{A} = - qE \cdot l + W_{0}$, где $W_{0} = - k \cdot q^{2} /(4 \cdot l)$. Когда шарик находится в точке B, его энергия взаимодействия с пластиной $W_{B}$ изменится: первое слагаемое целиком перейдёт в кинетическую энергию. Второе слагаемое тоже изменится, но вычислить это изменение мы не можем, поскольку формально в точке B выражение для $W_{0} (l =0)$ обращается в бесконечность. Обозначим изменение энергии, связанное с этим слагаемым, через $\Delta W$. Тогда часть энергии $W_{B} - W_{A} = qE \cdot l + \Delta W$ перешла в кинетическую энергию ленты. Рассматривая аналогично перемещение шарика из точки B в точку C получим, что на этом этапе в кинетическую энергию перешло $W_{C} - W_{B} = qE \cdot l - \Delta W$. За половину оборота транспортёра, когда шарик переместился из точки A в точку C, лента приобрела кинетическую энергию $2qE \cdot l$. За 10 оборотов лента транспортёра приобретёт кинетическую энергию $40qE \cdot l = MV^{2}/2$, что соответствует скорости $V = (80qE \cdot l/M)^{1/2}$.
Ответ. Через 10 оборотов скорость транспортёра станет равна
$V = \sqrt{ \frac{10q \cdot \sigma (L - 2 \pi R)}{M \epsilon_{0}}}$.
