Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5287
2017-11-19 
T-образный каркас вращается с частотой $\omega$ вокруг точки O в сильном магнитном поле индукции $B$. На перекладину каркаса насажены две маленькие заряженные бусинки массы $m$, имеющие заряды $+q$ каждая (см. рис.); бусинки могут скользить по проволоке без трения. Найдите положение равновесия бусинок. Исследуйте его устойчивость. Что будет, если изменить знак заряда одной из бусинок? Бусинки не могут слететь с перекладины, «ножка» T-образного каркаса имеет длину $l$. Направление поля $B$ указано на рисунке, рамка вращается в плоскости рисунка.
Решение:
Предположим, что бусинки не находятся на краю перекладины. На каждую бусинку действуют $F_{К} = kq^{2}/r^{2}$ — сила кулоновского отталкивания со стороны второй бусинки ($r$ — расстояние между бусинками), $F_{Л} = qB \omega R$ — сила Лоренца, притягивающая бусинку к центру вращения ($R$ — расстояние от бусинки до точки O), $N$ сила реакции стержня, перпендикулярная стержню. Сумма всех этих сил должна обеспечивать центростремительное ускорение бусинки, т. е. должна быть равна $F_{ц} = m \omega^{2} R$ и направлена к центру вращения O. В проекции на направление стержня силе Кулона, отталкивающей бусинки друг от друга, противостоит проекция силы Лоренца, стремящаяся их сблизить. По условию задачи магнитное поле велико, значит, сила Кулона не сможет растолкать бусинки так, чтобы хоть одна из них сместилась до края перекладины. Таким образом, положение равновесия бусинок — симметричное относительно ножки каркаса, причём бусинки не достигают его края. Обозначим через $\alpha$ — угол между ножкой каркаса и линией, соединяющей бусинку с точкой O. Расстояние между бусинками $r = 2l tg \alpha$, бусинки вращаются по окружности радиуса $R = l/ \cos \alpha$. Условие движения бусинки по окружности в проекции на направление стержня имеет вид
$- kq^{2}/r^{2} + q \omega BR \sin \alpha = m \omega^{2} R \sin \alpha$
и может быть переписано в виде $tg^{3} \alpha = kq^{2}/4l^{3} \omega (qB - m \omega )$. При сильном магнитном поле правая часть последнего равенства мала, значит, искомый тангенс также мал. Заменяя $tg \alpha$ на сам угол $\alpha$, получаем $\alpha \cong (kq^{2}/4l^{3} \omega (qB - \mu \omega ))^{1/3}$. Полученное решение устойчиво: если рассмотреть отклонение бусинки из положения равновесия (например, к краю перекладины), можно заметить, что сила Кулона уменьшится, а сила Лоренца увеличится, так что возникнет возвращающая к положению равновесия результирующая сила. Случай смещения бусинки в противоположном направлении рассматривается аналогично. Характер зависимости равновесного угла $\alpha$ от величины круговой частоты вращения показан на рисунке. Приведённый график построен в обезразмеренных величинах, нормировочный множитель $A = (kq^{2} m/4)^{1/3}/l$, циклотронная частота $\Omega = qB/m$. Если каркас не вращается, бусинки движутся только под действием расталкивающей силы Кулона, смещающей их на противоположные края проволоки. Если каркас вращается, на движущиеся в магнитном поле бусинки действует сила Лоренца, сводящая бусинки друг к другу. Наименьшее расстояние между ними достигается, когда круговая частота вращения каркаса равна половине циклотронной частоты. При дальнейшем увеличении угловой скорости вращения каркаса нарастающая сила реакции проволоки, действующая на бусинки, начинает существенно противодействовать силе Лоренца, и в момент, когда угловая скорость достигает величины циклотронной частоты, полностью компенсирует её. В этот момент движение бусинок снова определяется только действием силы Лоренца, расталкивающей их к противоположным упорам проволоки.
Если заменить знак заряда одной из бусинок, действующая на неё сила Лоренца будет сдвигать бусинку к краю. Так как магнитное поле по условию сильное, то сила Кулона (теперь притягивающая отрицательно заряженную бусинку к ножке) не сможет ей противодействовать. Значит, отрицательный заряд сместиться на самый край проволоки и остановится там лишь под действием силы реакции упора на конце перекладины. Положительный заряд при этом останется практически у ножки. Возможна также ситуация когда заряды слипнутся у ножки каркаса. Какая из этих двух ситуаций реализуется, зависит от начального расположения бусинок.
T-образный каркас вращается с частотой $\omega$ вокруг точки O в сильном магнитном поле индукции $B$. На перекладину каркаса насажены две маленькие заряженные бусинки массы $m$, имеющие заряды $+q$ каждая (см. рис.); бусинки могут скользить по проволоке без трения. Найдите положение равновесия бусинок. Исследуйте его устойчивость. Что будет, если изменить знак заряда одной из бусинок? Бусинки не могут слететь с перекладины, «ножка» T-образного каркаса имеет длину $l$. Направление поля $B$ указано на рисунке, рамка вращается в плоскости рисунка.
Решение:
Предположим, что бусинки не находятся на краю перекладины. На каждую бусинку действуют $F_{К} = kq^{2}/r^{2}$ — сила кулоновского отталкивания со стороны второй бусинки ($r$ — расстояние между бусинками), $F_{Л} = qB \omega R$ — сила Лоренца, притягивающая бусинку к центру вращения ($R$ — расстояние от бусинки до точки O), $N$ сила реакции стержня, перпендикулярная стержню. Сумма всех этих сил должна обеспечивать центростремительное ускорение бусинки, т. е. должна быть равна $F_{ц} = m \omega^{2} R$ и направлена к центру вращения O. В проекции на направление стержня силе Кулона, отталкивающей бусинки друг от друга, противостоит проекция силы Лоренца, стремящаяся их сблизить. По условию задачи магнитное поле велико, значит, сила Кулона не сможет растолкать бусинки так, чтобы хоть одна из них сместилась до края перекладины. Таким образом, положение равновесия бусинок — симметричное относительно ножки каркаса, причём бусинки не достигают его края. Обозначим через $\alpha$ — угол между ножкой каркаса и линией, соединяющей бусинку с точкой O. Расстояние между бусинками $r = 2l tg \alpha$, бусинки вращаются по окружности радиуса $R = l/ \cos \alpha$. Условие движения бусинки по окружности в проекции на направление стержня имеет вид
$- kq^{2}/r^{2} + q \omega BR \sin \alpha = m \omega^{2} R \sin \alpha$
и может быть переписано в виде $tg^{3} \alpha = kq^{2}/4l^{3} \omega (qB - m \omega )$. При сильном магнитном поле правая часть последнего равенства мала, значит, искомый тангенс также мал. Заменяя $tg \alpha$ на сам угол $\alpha$, получаем $\alpha \cong (kq^{2}/4l^{3} \omega (qB - \mu \omega ))^{1/3}$. Полученное решение устойчиво: если рассмотреть отклонение бусинки из положения равновесия (например, к краю перекладины), можно заметить, что сила Кулона уменьшится, а сила Лоренца увеличится, так что возникнет возвращающая к положению равновесия результирующая сила. Случай смещения бусинки в противоположном направлении рассматривается аналогично. Характер зависимости равновесного угла $\alpha$ от величины круговой частоты вращения показан на рисунке. Приведённый график построен в обезразмеренных величинах, нормировочный множитель $A = (kq^{2} m/4)^{1/3}/l$, циклотронная частота $\Omega = qB/m$. Если каркас не вращается, бусинки движутся только под действием расталкивающей силы Кулона, смещающей их на противоположные края проволоки. Если каркас вращается, на движущиеся в магнитном поле бусинки действует сила Лоренца, сводящая бусинки друг к другу. Наименьшее расстояние между ними достигается, когда круговая частота вращения каркаса равна половине циклотронной частоты. При дальнейшем увеличении угловой скорости вращения каркаса нарастающая сила реакции проволоки, действующая на бусинки, начинает существенно противодействовать силе Лоренца, и в момент, когда угловая скорость достигает величины циклотронной частоты, полностью компенсирует её. В этот момент движение бусинок снова определяется только действием силы Лоренца, расталкивающей их к противоположным упорам проволоки.
Если заменить знак заряда одной из бусинок, действующая на неё сила Лоренца будет сдвигать бусинку к краю. Так как магнитное поле по условию сильное, то сила Кулона (теперь притягивающая отрицательно заряженную бусинку к ножке) не сможет ей противодействовать. Значит, отрицательный заряд сместиться на самый край проволоки и остановится там лишь под действием силы реакции упора на конце перекладины. Положительный заряд при этом останется практически у ножки. Возможна также ситуация когда заряды слипнутся у ножки каркаса. Какая из этих двух ситуаций реализуется, зависит от начального расположения бусинок.
