Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5285
2017-11-19 
На нерастяжимой нити длиной $2L$ закреплены на расстоянии $L/2$ друг от друга два маленьких шарика с зарядами $+q$ и $-2q$. Концы нити связали, образовавшееся кольцо натянули на два тонких цилиндра, расположенных на расстоянии $L$ друг от друга. Радиусы цилиндров очень малы, так что обе половины нити лежат практически на одной прямой (см. рис.). Систему поместили в однородное электрическое поле $E$. Первоначально нить вместе с шариками имела небольшую скорость, так что она скользила по цилиндрам. Затем, из-за небольшого трения о воздух, система остановилась. Где могут расположиться шарики? Силой тяжести и трением нити о цилиндры пренебречь.
Решение:
Найдём возможные положения равновесия для описанной в задаче системы. Пусть заряды остановились на некотором расстоянии $x$ друг от друга (см. рис. решению задачи), для определённости заряд — $2q$ (чёрный шарик) поместим в положении равновесия на верхней нити, а заряд $q$ (серый шарик) — на нижней. Натяжение левой нити обозначим $T_{1}$, правой — $T_{2}$, будем считать, что левая нить — короткая (длиной $L/2$). Сила кулоновского взаимодействия между зарядами равна $F_{KL} = 2kq^{2}/x^{2}$, причём все силы, включая $F_{KL}$, направлены вдоль оси OX, так как по условию радиусы цилиндров очень малы, и оба заряда движутся практически по одной прямой. Силы, с которой однородное электрическое поле действует на заряды, равны по модулю $qE$ и $2qE$. Все описанные силы изображены на рис. Запишем условие, что силы, действующие на каждый заряд, скомпенсированы в положении равновесия. Для заряда $q$ оно имеет вид (в проекции на ось OX)
$T_{2} + qE - F_{KL} - T_{1} = 0$.
Для заряда $- 2q$ запишем аналогичное равенство:
$T_{2} - 2qE + F_{KL} - T_{1} = 0$.
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы натяжения нитей сократились, и подставим выражение для кулоновской силы $F_{KL}$ — получим расстояние $x$ между зарядами в положении равновесия, $x = (4kq/3E)^{1/2}$. Несложно также найти величину $y$, характеризующую положение верхнего заряда относительно цилиндров. Длина левой нити равна $L/2$. С другой стороны, её нетрудно выразить через $x$ и $y$, $L/2 = 2y + x$. Отсюда $y = L/4 - (kq/3E)^{1/2}$.
Замечание. Выше мы предполагали, что силы, действующие на шарики параллельны оси OY. Это верно, если найденная величина x много больше радиусов цилиндров. Если на нижней нити находится заряд $- 2q$, а на верхней заряд $q$ (см. рис.), то условия равновесия имеют тот же вид, что и раньше. Следовательно, таким же останется и расстояние между зарядами в положении равновесия $x$. Однако $y$ теперь отмечает положение заряда $q$, а положение заряда $- 2q$ даётся суммой $x + y$.
Полученное решение, однако, не единственное. Если заряды окажутся на одной половинке нити — оба снизу (см. рис.) или оба сверху, можно показать, что действующие на них силы не смогут быть скомпенсированы. Действительно, действующая на оба заряда результирующая сила будет направлена в ту сторону, в которую внешнее поле тянет больший по модулю заряд. Заряд $- 2q$ доедет до самого цилиндра (в случае рис., влево), утягивая за собой заряд $q$. Остальные, не изображённые на рис. силы, являются внутренними по отношению к данной системе. Таким образом, на рис. также изображено возможное положение равновесия системы. Существует ещё два положения равновесия — когда заряды «слипаются» (см. рис.). Итак, мы обнаружили пять различных положения равновесия в системе (изображённые на рис.). Для того, чтобы выяснить, какое же из них на самом деле реализуется в системе, следует исследовать их на устойчивость. Положение на рис., очевидно, неустойчиво. Действительно, если верхний заряд $- 2q$ сдвинется немного влево (а другой заряд, соответственно, вправо), кулоновское взаимодействие $F_{KL}$ между ними уменьшится. Заряды от этого ещё больше раздвинутся, так что система «свалится» в положение, изображённое на рис. Если же верхний заряд чуть сдвинется вправо, то кулоновское взаимодействие $F_{KL}$ между ними увеличится, и заряды ещё больше притянутся, так что система «свалится» в положение, изображённое на рис. Аналогичное рассуждение показывает, что состояние, изображённое на рис., также оказывается неустойчивым. Существует ещё третье положение неустойчивого равновесия (см. рис.) в некотором смысле симметричное состоянию, изображённому на рис. Действительно, если чуть сдвинуть заряд $- 2q$ в сторону верхней нити (против часовой стрелки), он поедет влево по верхней нити, и система «упадёт» в состояние, изображённое на рис. Если же чуть сдвинуть заряд $- 2q$ в сторону нижней нити (по часовой стрелке), он поедет влево по нижней нити, потянет за собой второй заряд, и система «упадёт» в состояние, показанное на рис. Итак, положения равновесия, представленные на рис., являются неустойчивыми, а положения, показанные на рис. устойчивыми, причём положения абсолютно устойчивы в них система имеет практически бесконечную отрицательную энергию (точечные заряды противоположного знака расположены бесконечно близко друг к другу). Поэтому, даже обладая некоторой скоростью, система не сможет «проскочить» эти положения. Состояние, изображённое на рис., хотя и устойчиво, но характеризуется конечной энергией. Обладая кинетической энергией, превосходящей по модулю энергию кулоновского взаимодействия, система сможет «проскочить» его. На рис. крестиками изображены неустойчивые положения заряда $- 2q$, а квадратиками устойчивые положения. Соответствующие им положение второго заряда восстанавливаются однозначно, поэтому мы не указываем его, чтобы не загромождать рисунок. Все положения равновесия на рис. пронумерованы. То или иное устойчивое равновесное состояние реализуется в зависимости от начальных условий задачи. При этом каждое из устойчивых решений характеризуется своей областью притяжения (бассейном аттракции) начальных условий. Например, если в начальный момент заряд $- 2q$ находился в положениях между состоянием 1 и состоянием 3, или между состояниями 3 и 2, система стремится в положение 3. Предположим, что кинетическая энергия системы невелика (в соответствии с условием задачи нить и заряды лёгкие). Тогда описанное в предыдущем пункте «проскакивание» положения равновесия 3 не происходит. Аналогично, если больший по модулю заряд находится в области между состояниями 1 и 4 или 4 и 6 система стремится в положение 4. Если больший по модулю заряд находится в оставшейся области, система стремится в положение 5. Кроме того, когда $x = L/2$, положения равновесия 1 и 3 (а также 2 и 6) сливаются. При $x > L/2$ положения равновесия 1, 2 исчезают. Проанализируйте для этих ситуаций картину устойчивости самостоятельно.
Если начальные положения заряда $-2q$ выбирают случайно (считают случайной величиной, распределённой равномерно вдоль всей длины нити), то для каждого из устойчивых состояний можно указать вероятность его реализации. Например, состояние 3 будет наблюдаться с вероятностью, равной отношению длины заштрихованной зоны к полной длине нити, т. е. $(L - x)/2L$. Состояние 4 появляется с вероятностью $(L - y)/2L$, а состояние 5 — с вероятностью $(x + y)/2L$.
Ответ. В зависимости от начальных условий, шарики расположатся в одной из трёх устойчивых конфигураций.
На нерастяжимой нити длиной $2L$ закреплены на расстоянии $L/2$ друг от друга два маленьких шарика с зарядами $+q$ и $-2q$. Концы нити связали, образовавшееся кольцо натянули на два тонких цилиндра, расположенных на расстоянии $L$ друг от друга. Радиусы цилиндров очень малы, так что обе половины нити лежат практически на одной прямой (см. рис.). Систему поместили в однородное электрическое поле $E$. Первоначально нить вместе с шариками имела небольшую скорость, так что она скользила по цилиндрам. Затем, из-за небольшого трения о воздух, система остановилась. Где могут расположиться шарики? Силой тяжести и трением нити о цилиндры пренебречь.
Решение:
Найдём возможные положения равновесия для описанной в задаче системы. Пусть заряды остановились на некотором расстоянии $x$ друг от друга (см. рис. решению задачи), для определённости заряд — $2q$ (чёрный шарик) поместим в положении равновесия на верхней нити, а заряд $q$ (серый шарик) — на нижней. Натяжение левой нити обозначим $T_{1}$, правой — $T_{2}$, будем считать, что левая нить — короткая (длиной $L/2$). Сила кулоновского взаимодействия между зарядами равна $F_{KL} = 2kq^{2}/x^{2}$, причём все силы, включая $F_{KL}$, направлены вдоль оси OX, так как по условию радиусы цилиндров очень малы, и оба заряда движутся практически по одной прямой. Силы, с которой однородное электрическое поле действует на заряды, равны по модулю $qE$ и $2qE$. Все описанные силы изображены на рис. Запишем условие, что силы, действующие на каждый заряд, скомпенсированы в положении равновесия. Для заряда $q$ оно имеет вид (в проекции на ось OX)
$T_{2} + qE - F_{KL} - T_{1} = 0$.
Для заряда $- 2q$ запишем аналогичное равенство:
$T_{2} - 2qE + F_{KL} - T_{1} = 0$.
Вычтем из первого уравнения второе, чтобы натяжения нитей сократились, и подставим выражение для кулоновской силы $F_{KL}$ — получим расстояние $x$ между зарядами в положении равновесия, $x = (4kq/3E)^{1/2}$. Несложно также найти величину $y$, характеризующую положение верхнего заряда относительно цилиндров. Длина левой нити равна $L/2$. С другой стороны, её нетрудно выразить через $x$ и $y$, $L/2 = 2y + x$. Отсюда $y = L/4 - (kq/3E)^{1/2}$.
Замечание. Выше мы предполагали, что силы, действующие на шарики параллельны оси OY. Это верно, если найденная величина x много больше радиусов цилиндров. Если на нижней нити находится заряд $- 2q$, а на верхней заряд $q$ (см. рис.), то условия равновесия имеют тот же вид, что и раньше. Следовательно, таким же останется и расстояние между зарядами в положении равновесия $x$. Однако $y$ теперь отмечает положение заряда $q$, а положение заряда $- 2q$ даётся суммой $x + y$.
Полученное решение, однако, не единственное. Если заряды окажутся на одной половинке нити — оба снизу (см. рис.) или оба сверху, можно показать, что действующие на них силы не смогут быть скомпенсированы. Действительно, действующая на оба заряда результирующая сила будет направлена в ту сторону, в которую внешнее поле тянет больший по модулю заряд. Заряд $- 2q$ доедет до самого цилиндра (в случае рис., влево), утягивая за собой заряд $q$. Остальные, не изображённые на рис. силы, являются внутренними по отношению к данной системе. Таким образом, на рис. также изображено возможное положение равновесия системы. Существует ещё два положения равновесия — когда заряды «слипаются» (см. рис.). Итак, мы обнаружили пять различных положения равновесия в системе (изображённые на рис.). Для того, чтобы выяснить, какое же из них на самом деле реализуется в системе, следует исследовать их на устойчивость. Положение на рис., очевидно, неустойчиво. Действительно, если верхний заряд $- 2q$ сдвинется немного влево (а другой заряд, соответственно, вправо), кулоновское взаимодействие $F_{KL}$ между ними уменьшится. Заряды от этого ещё больше раздвинутся, так что система «свалится» в положение, изображённое на рис. Если же верхний заряд чуть сдвинется вправо, то кулоновское взаимодействие $F_{KL}$ между ними увеличится, и заряды ещё больше притянутся, так что система «свалится» в положение, изображённое на рис. Аналогичное рассуждение показывает, что состояние, изображённое на рис., также оказывается неустойчивым. Существует ещё третье положение неустойчивого равновесия (см. рис.) в некотором смысле симметричное состоянию, изображённому на рис. Действительно, если чуть сдвинуть заряд $- 2q$ в сторону верхней нити (против часовой стрелки), он поедет влево по верхней нити, и система «упадёт» в состояние, изображённое на рис. Если же чуть сдвинуть заряд $- 2q$ в сторону нижней нити (по часовой стрелке), он поедет влево по нижней нити, потянет за собой второй заряд, и система «упадёт» в состояние, показанное на рис. Итак, положения равновесия, представленные на рис., являются неустойчивыми, а положения, показанные на рис. устойчивыми, причём положения абсолютно устойчивы в них система имеет практически бесконечную отрицательную энергию (точечные заряды противоположного знака расположены бесконечно близко друг к другу). Поэтому, даже обладая некоторой скоростью, система не сможет «проскочить» эти положения. Состояние, изображённое на рис., хотя и устойчиво, но характеризуется конечной энергией. Обладая кинетической энергией, превосходящей по модулю энергию кулоновского взаимодействия, система сможет «проскочить» его. На рис. крестиками изображены неустойчивые положения заряда $- 2q$, а квадратиками устойчивые положения. Соответствующие им положение второго заряда восстанавливаются однозначно, поэтому мы не указываем его, чтобы не загромождать рисунок. Все положения равновесия на рис. пронумерованы. То или иное устойчивое равновесное состояние реализуется в зависимости от начальных условий задачи. При этом каждое из устойчивых решений характеризуется своей областью притяжения (бассейном аттракции) начальных условий. Например, если в начальный момент заряд $- 2q$ находился в положениях между состоянием 1 и состоянием 3, или между состояниями 3 и 2, система стремится в положение 3. Предположим, что кинетическая энергия системы невелика (в соответствии с условием задачи нить и заряды лёгкие). Тогда описанное в предыдущем пункте «проскакивание» положения равновесия 3 не происходит. Аналогично, если больший по модулю заряд находится в области между состояниями 1 и 4 или 4 и 6 система стремится в положение 4. Если больший по модулю заряд находится в оставшейся области, система стремится в положение 5. Кроме того, когда $x = L/2$, положения равновесия 1 и 3 (а также 2 и 6) сливаются. При $x > L/2$ положения равновесия 1, 2 исчезают. Проанализируйте для этих ситуаций картину устойчивости самостоятельно.
Если начальные положения заряда $-2q$ выбирают случайно (считают случайной величиной, распределённой равномерно вдоль всей длины нити), то для каждого из устойчивых состояний можно указать вероятность его реализации. Например, состояние 3 будет наблюдаться с вероятностью, равной отношению длины заштрихованной зоны к полной длине нити, т. е. $(L - x)/2L$. Состояние 4 появляется с вероятностью $(L - y)/2L$, а состояние 5 — с вероятностью $(x + y)/2L$.
Ответ. В зависимости от начальных условий, шарики расположатся в одной из трёх устойчивых конфигураций.
