Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5282
2017-11-19 
Теплоизолированный сосуд разделён на две части теплоизолирующим поршнем (см. рис.). С одной стороны от поршня, занимая объём $V_{1}$, находится масса $m_{1}$ водорода, с другой стороны, в объёме $V_{2}$, — масса $m_{2}$ гелия. Газы в сосуде нагревают, подключая к источнику постоянного напряжения два последовательно соединённых нагревательных элемента. Первый из этих элементов нагревает водород; известна зависимость его электрического сопротивления от температуры $R_{1}(T)$. Второй элемент находится в отделении с гелием. При включении нагревательных элементов поршень не сдвинулся. Какова зависимость сопротивления второго элемента от температуры?
Решение:
Обозначим напряжение, приложенное к нагревательной схеме — $U, v_{1}$ и $v_{2}$ — количество вещества водорода и гелия соответственно, $\Delta t$ — некоторый малый промежуток времени, $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры, которые имели в начале этого промежутка времени водород и гелий соответственно, $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ — изменение температур водорода и гелия за промежуток времени $\Delta t$ (ввиду малости $\Delta t$ предполагается, что изменение температур небольшое, $\Delta T_{1} \ll T_{1}, \Delta T_{2} \ll T_{2}), R_{1}(T_{1})$ и $R_{2}(T_{2})$ — сопротивления, которые имели в начале этого промежутка времени элементы, нагревающие водород и гелий соответственно (ввиду малости $\Delta t$ предполагается, что изменение этих сопротивлений в течение данного промежутка небольшое). Так как поршень теплоизолирующий, температуры водорода и гелия будут разными в каждый момент времени. Давления же газов в любой момент времени будут одинаковы, так как в противном случае поршень бы двигался. Через электрическую цепь идёт ток $I = U/(R_{1} + R_{2})$, поэтому в течение промежутка времени $\Delta t$ первый элемент выделит тепловую энергию водорода при постоянном его объёме (так как поршень не двигается по условию задачи). Баланс энергий, $E_{1} = C_{ \nu 1} \cdot v_{1} \Delta T_{1}$, здесь $C_{ \nu 1}$ — молярная теплоёмкость водорода при постоянном объёме. Аналогично, для гелия баланс энергий имеет вид $E_{2} = C_{ \nu 2} v_{2} \Delta T_{2}$, где $C_{ \nu 2}$ — молярная теплоёмкость гелия при постоянном объёме. Водород — двухатомный газ, а гелий — одноатомный, их молярные теплоёмкости при постоянном объёме равны $C_{ \nu 1} = 5R/2, C_{ \nu 2} = 3R/2$. Следовательно, $E_{1} / E_{2} = R_{1}(T_{1})/R_{2}(T_{2}) = 5 \nu_{1} \cdot \Delta T_{1} / 3 \nu_{2} \cdot \Delta T_{2}$. Отношение $\Delta T_{1}/ \Delta T_{2}$ выразим из отношения уравнений состояния, записанных для каждого из газов в начале и в конце промежутка времени $\Delta t, v_{1} \cdot \Delta T_{1}/ v_{2} \Delta T_{2} = V_{1}/V_{2}$. Такое же выражение можно получить для связи температур $T_{1}$ и $T_{2}$, что даёт зависимость:
$R_{2}(T_{2}) = \frac{3V_{2}}{5V_{1}} R_{1} \left ( T_{2} \frac{v_{2}V_{1}}{v_{1}V_{2}} \right )$.
Остаётся выразить молярные объёмы через массы газов и заметить, что полученная формула справедлива при любом $T_{2}$.
Ответ. Функция сопротивление второго элемента от температуры равна
$R_{2} (T) = \frac{3V_{2}}{5V_{1}} R \left ( \frac{Tm_{2}V_{1}}{2m_{1}V_{2}} \right )$.
Теплоизолированный сосуд разделён на две части теплоизолирующим поршнем (см. рис.). С одной стороны от поршня, занимая объём $V_{1}$, находится масса $m_{1}$ водорода, с другой стороны, в объёме $V_{2}$, — масса $m_{2}$ гелия. Газы в сосуде нагревают, подключая к источнику постоянного напряжения два последовательно соединённых нагревательных элемента. Первый из этих элементов нагревает водород; известна зависимость его электрического сопротивления от температуры $R_{1}(T)$. Второй элемент находится в отделении с гелием. При включении нагревательных элементов поршень не сдвинулся. Какова зависимость сопротивления второго элемента от температуры?
Решение:
Обозначим напряжение, приложенное к нагревательной схеме — $U, v_{1}$ и $v_{2}$ — количество вещества водорода и гелия соответственно, $\Delta t$ — некоторый малый промежуток времени, $T_{1}$ и $T_{2}$ — температуры, которые имели в начале этого промежутка времени водород и гелий соответственно, $\Delta T_{1}$ и $\Delta T_{2}$ — изменение температур водорода и гелия за промежуток времени $\Delta t$ (ввиду малости $\Delta t$ предполагается, что изменение температур небольшое, $\Delta T_{1} \ll T_{1}, \Delta T_{2} \ll T_{2}), R_{1}(T_{1})$ и $R_{2}(T_{2})$ — сопротивления, которые имели в начале этого промежутка времени элементы, нагревающие водород и гелий соответственно (ввиду малости $\Delta t$ предполагается, что изменение этих сопротивлений в течение данного промежутка небольшое). Так как поршень теплоизолирующий, температуры водорода и гелия будут разными в каждый момент времени. Давления же газов в любой момент времени будут одинаковы, так как в противном случае поршень бы двигался. Через электрическую цепь идёт ток $I = U/(R_{1} + R_{2})$, поэтому в течение промежутка времени $\Delta t$ первый элемент выделит тепловую энергию водорода при постоянном его объёме (так как поршень не двигается по условию задачи). Баланс энергий, $E_{1} = C_{ \nu 1} \cdot v_{1} \Delta T_{1}$, здесь $C_{ \nu 1}$ — молярная теплоёмкость водорода при постоянном объёме. Аналогично, для гелия баланс энергий имеет вид $E_{2} = C_{ \nu 2} v_{2} \Delta T_{2}$, где $C_{ \nu 2}$ — молярная теплоёмкость гелия при постоянном объёме. Водород — двухатомный газ, а гелий — одноатомный, их молярные теплоёмкости при постоянном объёме равны $C_{ \nu 1} = 5R/2, C_{ \nu 2} = 3R/2$. Следовательно, $E_{1} / E_{2} = R_{1}(T_{1})/R_{2}(T_{2}) = 5 \nu_{1} \cdot \Delta T_{1} / 3 \nu_{2} \cdot \Delta T_{2}$. Отношение $\Delta T_{1}/ \Delta T_{2}$ выразим из отношения уравнений состояния, записанных для каждого из газов в начале и в конце промежутка времени $\Delta t, v_{1} \cdot \Delta T_{1}/ v_{2} \Delta T_{2} = V_{1}/V_{2}$. Такое же выражение можно получить для связи температур $T_{1}$ и $T_{2}$, что даёт зависимость:
$R_{2}(T_{2}) = \frac{3V_{2}}{5V_{1}} R_{1} \left ( T_{2} \frac{v_{2}V_{1}}{v_{1}V_{2}} \right )$.
Остаётся выразить молярные объёмы через массы газов и заметить, что полученная формула справедлива при любом $T_{2}$.
Ответ. Функция сопротивление второго элемента от температуры равна
$R_{2} (T) = \frac{3V_{2}}{5V_{1}} R \left ( \frac{Tm_{2}V_{1}}{2m_{1}V_{2}} \right )$.
