Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5281
2017-11-19 
Правый конец металлического стержня длиной 1 м погружен в ацетон, левый погружают в кипящую воду. На стержне, на расстоянии 47 см от его левого конца, лежит маленький кристалл нафталина. Сколько ацетона выкипит, пока расплавится весь нафталин? Считайте, что вся теплопередача происходит только через стержень, а поток тепловой энергии через тонкий слой прямо пропорционален разности температур на торцах слоя. Количество кипящей воды в сосуде очень велико, кипение поддерживается. Температура кипения ацетона и температура плавления нафталина заданы.
Решение:
Для выяснения динамики изменения температуры в выбранной точке стержня рассмотрим его небольшой элемент $\Delta L$, концы которого имеют различную температуру $T_{1} > T_{2}$. Очевидно, что тепловая энергия будет передаваться от более нагретого конца к холодному (вдоль оси x). Если количества тепловой энергии, втекающей и вытекающей из элемента длины стержня, не равны друг другу, его внутренняя энергия и, следовательно, температура, будут изменяться во времени $\Delta T = \Delta Q/C = k( \Delta T_{1} - \Delta T_{2}) \cdot \Delta t$. В зависимости от вида пространственного распределения температур на рассматриваемом участке возможны как рост, так и уменьшение его температуры во времени. В случае «уменьшающейся по оси x крутизны» количество втекающего тепла превосходит вытекающее и участок разогревается. Аналогично показывается, что участки с «возрастающей крутизной» должны постепенно остывать. В случае же линейной зависимости $T(x)$ температура участка остаётся постоянной: втекающий в стержень и вытекающий из него тепловые потоки точно равны друг другу. При стационарном распределении температура изменяется вдоль стержня по линейному закону: $T(x, t) = 100^{ \circ} C - x \cdot (100^{ \circ} C - 56,2^{ \circ} C)/L$. При этом оказывается, что в точке нахождения нафталина температура не достигает величины, достаточной для его плавления. Остаётся показать, что и до момента установления стационарного распределения нафталин не мог начать плавиться. Действительно, в начальный момент температура всех точек стержня, кроме $x = 0$ была меньшей, чем температура стационарного распределения. В процессе теплопередачи происходил постепенный нагрев средней части стержня и приближение температуры его точек к стационарной. При этом температура любой точки стержня, кроме его концов может достигнуть стационарного значения только при условии достижения стационарного распределения во всех остальных точках. В противном случае, в выбранной точке температура начнёт понижаться. До тех пор, пока правый конец стержня находится при температуре кипения ацетона, нафталин не может начать плавиться. Наличие небольшой массы нафталина существенно не меняет распределения температур в стержне. Нафталин расплавится лишь после того, как весь ацетон выкипит.
Ответ. К моменту, когда расплавится нафталин, весь ацетон уже выкипит.
Правый конец металлического стержня длиной 1 м погружен в ацетон, левый погружают в кипящую воду. На стержне, на расстоянии 47 см от его левого конца, лежит маленький кристалл нафталина. Сколько ацетона выкипит, пока расплавится весь нафталин? Считайте, что вся теплопередача происходит только через стержень, а поток тепловой энергии через тонкий слой прямо пропорционален разности температур на торцах слоя. Количество кипящей воды в сосуде очень велико, кипение поддерживается. Температура кипения ацетона и температура плавления нафталина заданы.
Решение:
Для выяснения динамики изменения температуры в выбранной точке стержня рассмотрим его небольшой элемент $\Delta L$, концы которого имеют различную температуру $T_{1} > T_{2}$. Очевидно, что тепловая энергия будет передаваться от более нагретого конца к холодному (вдоль оси x). Если количества тепловой энергии, втекающей и вытекающей из элемента длины стержня, не равны друг другу, его внутренняя энергия и, следовательно, температура, будут изменяться во времени $\Delta T = \Delta Q/C = k( \Delta T_{1} - \Delta T_{2}) \cdot \Delta t$. В зависимости от вида пространственного распределения температур на рассматриваемом участке возможны как рост, так и уменьшение его температуры во времени. В случае «уменьшающейся по оси x крутизны» количество втекающего тепла превосходит вытекающее и участок разогревается. Аналогично показывается, что участки с «возрастающей крутизной» должны постепенно остывать. В случае же линейной зависимости $T(x)$ температура участка остаётся постоянной: втекающий в стержень и вытекающий из него тепловые потоки точно равны друг другу. При стационарном распределении температура изменяется вдоль стержня по линейному закону: $T(x, t) = 100^{ \circ} C - x \cdot (100^{ \circ} C - 56,2^{ \circ} C)/L$. При этом оказывается, что в точке нахождения нафталина температура не достигает величины, достаточной для его плавления. Остаётся показать, что и до момента установления стационарного распределения нафталин не мог начать плавиться. Действительно, в начальный момент температура всех точек стержня, кроме $x = 0$ была меньшей, чем температура стационарного распределения. В процессе теплопередачи происходил постепенный нагрев средней части стержня и приближение температуры его точек к стационарной. При этом температура любой точки стержня, кроме его концов может достигнуть стационарного значения только при условии достижения стационарного распределения во всех остальных точках. В противном случае, в выбранной точке температура начнёт понижаться. До тех пор, пока правый конец стержня находится при температуре кипения ацетона, нафталин не может начать плавиться. Наличие небольшой массы нафталина существенно не меняет распределения температур в стержне. Нафталин расплавится лишь после того, как весь ацетон выкипит.
Ответ. К моменту, когда расплавится нафталин, весь ацетон уже выкипит.
