Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5279
2017-11-19 
Сосуд разделён на две половины герметичной перегородкой. В левой половине находится в равновесии смесь гелия и ксенона (см. рис. ); масса содержащегося гелия $m_{1}$, масса ксенона $m_{2}$. В правой половине сосуда первоначально—вакуум. В перегородке на короткое время открыли небольшое отверстие. Найти отношение концентраций гелия и ксенона в правой части сосуда после того, как отверстие закрыли. Молярные массы гелия и ксенона равны $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно.
Решение:
Обозначим средние скорости молекул гелия и ксенона в правой части сосуда как $V_{1}$ и $V_{2}$, массы молекул гелия и ксенона — $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ соответственно. Обозначим концентрации гелия и ксенона в левой части сосуда в начале процесса $n_{1}$ и $n_{2}$, а количества вещества гелия и ксенона в левой части сосуда в начале — $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$, температуру газа в левой части сосуда $T$ (так как отверстие маленькое и открывается только на небольшое время, то будем считать, что эта температура не изменяется). В приближении идеального газа молекулы гелия и ксенона вылетают независимо. Рассмотрим сначала истечение гелия. Предположим для простоты, что молекулы в газе двигаются только вдоль взаимно перпендикулярных осей OX, OY, OZ со скоростью $V_{1}$ (те же предположения делаются в школьном курсе при выводе основного молекулярного уравнения $p = nkT$). Тогда за время $\Delta t$ из левой части сосуда вылетят молекулы гелия, находящиеся в цилиндре длиной $V_{1} \Delta t$ и имеющие скорость в направлении оси OX. Их количество равно $N_{1} = n_{1} V_{1} \Delta tS/6$ (множитель 1/6 появляется, так как из 1/3 всех молекул, движущихся вдоль оси OX, только половина движется к отверстию). То же самое справедливо для вылетевших молекул ксенона. Их количество равно $N_{2} = n_{2}V_{2} \Delta tS/6$. Поэтому $N_{1}/N_{2} = n_{1} V_{2} /n_{2} V_{2}$. Этот результат остаётся справедлив, даже если мы не делаем никаких дополнительных предположений относительно характера движения молекул в газе, поскольку $N_{1}$ должно быть пропорционально $n_{1}$1 хотя бы из размерных соображений: $N_{1} \sim n_{1} V_{1} \Delta tS$, где коэффициент пропорциональности хоть и отличается от 1/6, но является не зависящим от свойств газа числом и сокращается при делении $N_{1}$ на $N_{2}$. Определим отношения объёмов и концентрации для обоих газов. Так как мерой средней кинетической энергии молекул является температура, а она одинакова для гелия и ксенона (по условию первоначально в сосуде было тепловое равновесие), то $m_{1}V_{1}^{2}/2 = n_{2}V_{2}^{2}/2 \sim T$, следовательно, $V_{1} / V_{2} = \sqrt{ \mu_{2}} / \sqrt{ \mu_{1}}$. Таким образом, для отношения концентрации газов получается следующее выражение: $n_{1} / n_{2} = \mu_{1} M_{2}/ \mu_{2} M_{1}$. Подставляя промежуточные результаты в формулу для отношения средних концентраций гелия и ксенона и учитывая, что $\mu_{1} / \mu_{2} = M_{1} / M_{2}$, вычисляем ответ.
Ответ. После того, как отверстие закрыли, в правой части сосуда установилось следующее отношение концентрации молекул гелия и ксенона:
$\frac{N_{He}}{N_{Xe}} = \frac{m_{1}M_{2}}{m_{2}M_{1}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} = \frac{m_{1}}{ m_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{M_{2}}{M_{1}}} \right )^{3}$.
Сосуд разделён на две половины герметичной перегородкой. В левой половине находится в равновесии смесь гелия и ксенона (см. рис. ); масса содержащегося гелия $m_{1}$, масса ксенона $m_{2}$. В правой половине сосуда первоначально—вакуум. В перегородке на короткое время открыли небольшое отверстие. Найти отношение концентраций гелия и ксенона в правой части сосуда после того, как отверстие закрыли. Молярные массы гелия и ксенона равны $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно.
Решение:
Обозначим средние скорости молекул гелия и ксенона в правой части сосуда как $V_{1}$ и $V_{2}$, массы молекул гелия и ксенона — $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ соответственно. Обозначим концентрации гелия и ксенона в левой части сосуда в начале процесса $n_{1}$ и $n_{2}$, а количества вещества гелия и ксенона в левой части сосуда в начале — $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$, температуру газа в левой части сосуда $T$ (так как отверстие маленькое и открывается только на небольшое время, то будем считать, что эта температура не изменяется). В приближении идеального газа молекулы гелия и ксенона вылетают независимо. Рассмотрим сначала истечение гелия. Предположим для простоты, что молекулы в газе двигаются только вдоль взаимно перпендикулярных осей OX, OY, OZ со скоростью $V_{1}$ (те же предположения делаются в школьном курсе при выводе основного молекулярного уравнения $p = nkT$). Тогда за время $\Delta t$ из левой части сосуда вылетят молекулы гелия, находящиеся в цилиндре длиной $V_{1} \Delta t$ и имеющие скорость в направлении оси OX. Их количество равно $N_{1} = n_{1} V_{1} \Delta tS/6$ (множитель 1/6 появляется, так как из 1/3 всех молекул, движущихся вдоль оси OX, только половина движется к отверстию). То же самое справедливо для вылетевших молекул ксенона. Их количество равно $N_{2} = n_{2}V_{2} \Delta tS/6$. Поэтому $N_{1}/N_{2} = n_{1} V_{2} /n_{2} V_{2}$. Этот результат остаётся справедлив, даже если мы не делаем никаких дополнительных предположений относительно характера движения молекул в газе, поскольку $N_{1}$ должно быть пропорционально $n_{1}$1 хотя бы из размерных соображений: $N_{1} \sim n_{1} V_{1} \Delta tS$, где коэффициент пропорциональности хоть и отличается от 1/6, но является не зависящим от свойств газа числом и сокращается при делении $N_{1}$ на $N_{2}$. Определим отношения объёмов и концентрации для обоих газов. Так как мерой средней кинетической энергии молекул является температура, а она одинакова для гелия и ксенона (по условию первоначально в сосуде было тепловое равновесие), то $m_{1}V_{1}^{2}/2 = n_{2}V_{2}^{2}/2 \sim T$, следовательно, $V_{1} / V_{2} = \sqrt{ \mu_{2}} / \sqrt{ \mu_{1}}$. Таким образом, для отношения концентрации газов получается следующее выражение: $n_{1} / n_{2} = \mu_{1} M_{2}/ \mu_{2} M_{1}$. Подставляя промежуточные результаты в формулу для отношения средних концентраций гелия и ксенона и учитывая, что $\mu_{1} / \mu_{2} = M_{1} / M_{2}$, вычисляем ответ.
Ответ. После того, как отверстие закрыли, в правой части сосуда установилось следующее отношение концентрации молекул гелия и ксенона:
$\frac{N_{He}}{N_{Xe}} = \frac{m_{1}M_{2}}{m_{2}M_{1}} \sqrt{ \frac{ \mu_{2}}{ \mu_{1}}} = \frac{m_{1}}{ m_{2}} \left ( \sqrt{ \frac{M_{2}}{M_{1}}} \right )^{3}$.
