Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5278
2017-11-19 
К резиновому воздушному шару, содержащему массу $m$ гелия, привязана очень длинная верёвка, масса единицы длины верёвки $\lambda$. При атмосферном давлении $p_{0}$ шар зависает над полом на высоте $H$ (см. рис.). На какой высоте окажется шар, если атмосферное давление увеличится и станет равным $p_{1}$? Считать, что давление газа в шаре всегда на $\Delta p$ больше, чем давление окружающего воздуха в данный момент. Молярные массы воздуха и гелия равны $M_{в}$ и $M_{г}$ соответственно.
Решение:
Шар находится в равновесии над полом, так как действующие на него сила тяжести и сила Архимеда скомпенсированы. Поскольку при изменении атмосферного давления меняется объём шарика, меняется и выталкивающая сила, действующая на него. Следовательно, и длина верёвки, которую шарик может поднять над полом, изменяется. Обозначим массу резиновой оболочки шара через $M$, объём шарика при давлении $p_{0}$ как $V_{0}$, объём шарика при давлении $p_{1}$ через $V_{1}$, а расстояние от шарика до пола при давлении $p_{1}$ как $H_{1}$. Кроме того, введём $\rho_{0}$ и $\rho_{1}$ — плотности воздуха при давлениях и соответственно. Тогда баланс сил при давлении $p_{0}$ имеет вид $(M + m)g + \lambda Hg = \rho_{0} gV_{0}$. При давлении $p_{1}$ баланс также сохранился, $(M + m)g + \lambda H_{1} g = \rho_{1} gV_{1}$. Вычтем из второго уравнения первое (так что вес резиновой оболочки сократится) и выразим величину $H_{1} = H + ( \rho_{1} V_{1} - \rho_{0} V_{0})/ \lambda$. Давление воздуха $p_{0}$ можно связать с его плотностью $\rho_{0} = m_{в}/V_{в} = p_{0}M_{в}/RT$ из уравнения для идеального газа, записанного для некоторой массы воздуха $m_{в}$, имеющей при комнатной температуре $T$ объём $V_{в}$. Аналогичное соотношение связывает давление $p_{1}$ с плотностью $\rho_{1} = p_{1} M_{в} / RT$. Объём шарика, $V_{0} = mRR/(p_{0} + \Delta p)M_{г}$, можно найти из уравнения идеального газа для гелия массы $m$, имеющего при комнатной температуре $T$ давление $p_{0} + \Delta p$. Аналогично вычисляется объём $V_{1} = mRT/(p_{1} + \Delta p)M_{г}$. Подставляя найденные величины в формулу для новой высоты, получаем ответ $H_{1} = H + m \Delta p( p_{1} - p_{0})M_{в} / \lambda (p_{0} + \Delta p)( p_{1} + \Delta p)M_{г}$.
Ответ. Шарик поднимется над полом выше.
К резиновому воздушному шару, содержащему массу $m$ гелия, привязана очень длинная верёвка, масса единицы длины верёвки $\lambda$. При атмосферном давлении $p_{0}$ шар зависает над полом на высоте $H$ (см. рис.). На какой высоте окажется шар, если атмосферное давление увеличится и станет равным $p_{1}$? Считать, что давление газа в шаре всегда на $\Delta p$ больше, чем давление окружающего воздуха в данный момент. Молярные массы воздуха и гелия равны $M_{в}$ и $M_{г}$ соответственно.
Решение:
Шар находится в равновесии над полом, так как действующие на него сила тяжести и сила Архимеда скомпенсированы. Поскольку при изменении атмосферного давления меняется объём шарика, меняется и выталкивающая сила, действующая на него. Следовательно, и длина верёвки, которую шарик может поднять над полом, изменяется. Обозначим массу резиновой оболочки шара через $M$, объём шарика при давлении $p_{0}$ как $V_{0}$, объём шарика при давлении $p_{1}$ через $V_{1}$, а расстояние от шарика до пола при давлении $p_{1}$ как $H_{1}$. Кроме того, введём $\rho_{0}$ и $\rho_{1}$ — плотности воздуха при давлениях и соответственно. Тогда баланс сил при давлении $p_{0}$ имеет вид $(M + m)g + \lambda Hg = \rho_{0} gV_{0}$. При давлении $p_{1}$ баланс также сохранился, $(M + m)g + \lambda H_{1} g = \rho_{1} gV_{1}$. Вычтем из второго уравнения первое (так что вес резиновой оболочки сократится) и выразим величину $H_{1} = H + ( \rho_{1} V_{1} - \rho_{0} V_{0})/ \lambda$. Давление воздуха $p_{0}$ можно связать с его плотностью $\rho_{0} = m_{в}/V_{в} = p_{0}M_{в}/RT$ из уравнения для идеального газа, записанного для некоторой массы воздуха $m_{в}$, имеющей при комнатной температуре $T$ объём $V_{в}$. Аналогичное соотношение связывает давление $p_{1}$ с плотностью $\rho_{1} = p_{1} M_{в} / RT$. Объём шарика, $V_{0} = mRR/(p_{0} + \Delta p)M_{г}$, можно найти из уравнения идеального газа для гелия массы $m$, имеющего при комнатной температуре $T$ давление $p_{0} + \Delta p$. Аналогично вычисляется объём $V_{1} = mRT/(p_{1} + \Delta p)M_{г}$. Подставляя найденные величины в формулу для новой высоты, получаем ответ $H_{1} = H + m \Delta p( p_{1} - p_{0})M_{в} / \lambda (p_{0} + \Delta p)( p_{1} + \Delta p)M_{г}$.
Ответ. Шарик поднимется над полом выше.
