Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5276
2017-11-19 
В центре круглого стола поставили блюдце. Коэффициент трения блюдца о стол равен $\mu$. Стол двигали прямолинейно с ускорением $a$ в течение промежутка времени $T$, а затем равномерно затормозили за то же время. Каков должен быть минимальный радиус стола $L$, чтобы блюдце не упало с него?
Решение:
Поскольку стол равномерно разгоняли, а затем тормозили в течение одного и того же времени $T$, — его тормозили с тем же ускорением — $a$, и его движение также было прямолинейным. Блюдце будет скользить по столу, если сила трения $\mu mg$ не может обеспечить ему то же ускорение, что и столу, то есть если $\mu g < a$. Перейдём в систему отсчёта, в которой стол неподвижен. В этой (неинерциальной) системе отсчёта, в каждый момент времени, действует сила инерции $ma$, направленная в сторону, противоположную ускорению стола. Перемещение блюдца в этой системе отсчёта не должно превосходить $L$. На первом интервале времени $T$ блюдце разгоняется под действием силы $ma - \mu mg$. За время $T$ оно проходит расстояние $x_{1} = (a - \mu g)T^{2}/2$ и приобретает скорость $V = (a - \mu g)T$. В последующие моменты времени ускорение $a$ и сила трения $\mu mg$ действуют в одну сторону и тормозят блюдце с силой $ma + \mu mg$ до полной его остановки. Блюдце остановится через время $t = V/(a + \mu g) = (a - \mu g)T/(a + \mu g)$, пройдя за это время расстояние $x_{2} = Vt - (a + \mu g)t^{2}/2 = (a - \mu g)^{2} T^{2}/(2a + 2 \mu g)$. Перемещение блюдца $x_{1} + x_{2} = aT^{2}(a - \mu g)/(a + \mu g)$ не должно превосходить $L$. Отсюда следует, что $L$ должно удовлетворять ограничению
$L \geq \frac{aT^{2} ( a - \mu g)}{a + \mu g}$.
Примечание. Задачу можно решать и в исходной системе отсчёта. Пока стол разгоняется, блюдце также разгоняется, но с меньшим ускорением (ускорение блюдца $\mu g$ обеспечивается силой трения о стол). Затем стол начинают тормозить, а блюдце продолжает разгоняться. Когда скорости стола и блюдца сравниваются, блюдце останавливается относительно стола и затем начинает скользить по столу в противоположном направлении, к его центру. Нас интересует интервал времени, в течение которого блюдце двигалось от центра стола к краю, то есть пока скорости стола и блюдца не сравнялись. Сила трения о стол, действующая на блюдце, всегда направлена в одну сторону, разгоняя его. Координата блюдца $x_{b}(t) = \mu gt^{2}/2$, скорость $V_{b} = \mu gt$. Координата стола $x$ задаётся выражением $x = at^{2}/2$ при $T \geq t$ и $x(t) = aT^{2}/2 + aT(t - T) - a(t - T)^{2}/2$ при $t \geq T$, скорость стола равна $V = aT - a(t - T)$. Блюдце остановится относительно стола в момент времени $t_{0} = 2aT/( \mu g + a)$, когда $V = V_{b}$. При этом блюдце пройдёт по столу путь $x(t_{0}) - x_{b}(t_{0}) = aT^[2](a - \mu g)/(a + \mu g)$, который не должен превосходить $L$. Отсюда следует, что $L$ должно удовлетворять ограничению, полученному выше.
Ответ. Радиус стола должен удовлетворять условию $L \geq \frac{aT^{2} ( a - \mu g)}{a + \mu g}$.
В центре круглого стола поставили блюдце. Коэффициент трения блюдца о стол равен $\mu$. Стол двигали прямолинейно с ускорением $a$ в течение промежутка времени $T$, а затем равномерно затормозили за то же время. Каков должен быть минимальный радиус стола $L$, чтобы блюдце не упало с него?
Решение:
Поскольку стол равномерно разгоняли, а затем тормозили в течение одного и того же времени $T$, — его тормозили с тем же ускорением — $a$, и его движение также было прямолинейным. Блюдце будет скользить по столу, если сила трения $\mu mg$ не может обеспечить ему то же ускорение, что и столу, то есть если $\mu g < a$. Перейдём в систему отсчёта, в которой стол неподвижен. В этой (неинерциальной) системе отсчёта, в каждый момент времени, действует сила инерции $ma$, направленная в сторону, противоположную ускорению стола. Перемещение блюдца в этой системе отсчёта не должно превосходить $L$. На первом интервале времени $T$ блюдце разгоняется под действием силы $ma - \mu mg$. За время $T$ оно проходит расстояние $x_{1} = (a - \mu g)T^{2}/2$ и приобретает скорость $V = (a - \mu g)T$. В последующие моменты времени ускорение $a$ и сила трения $\mu mg$ действуют в одну сторону и тормозят блюдце с силой $ma + \mu mg$ до полной его остановки. Блюдце остановится через время $t = V/(a + \mu g) = (a - \mu g)T/(a + \mu g)$, пройдя за это время расстояние $x_{2} = Vt - (a + \mu g)t^{2}/2 = (a - \mu g)^{2} T^{2}/(2a + 2 \mu g)$. Перемещение блюдца $x_{1} + x_{2} = aT^{2}(a - \mu g)/(a + \mu g)$ не должно превосходить $L$. Отсюда следует, что $L$ должно удовлетворять ограничению
$L \geq \frac{aT^{2} ( a - \mu g)}{a + \mu g}$.
Примечание. Задачу можно решать и в исходной системе отсчёта. Пока стол разгоняется, блюдце также разгоняется, но с меньшим ускорением (ускорение блюдца $\mu g$ обеспечивается силой трения о стол). Затем стол начинают тормозить, а блюдце продолжает разгоняться. Когда скорости стола и блюдца сравниваются, блюдце останавливается относительно стола и затем начинает скользить по столу в противоположном направлении, к его центру. Нас интересует интервал времени, в течение которого блюдце двигалось от центра стола к краю, то есть пока скорости стола и блюдца не сравнялись. Сила трения о стол, действующая на блюдце, всегда направлена в одну сторону, разгоняя его. Координата блюдца $x_{b}(t) = \mu gt^{2}/2$, скорость $V_{b} = \mu gt$. Координата стола $x$ задаётся выражением $x = at^{2}/2$ при $T \geq t$ и $x(t) = aT^{2}/2 + aT(t - T) - a(t - T)^{2}/2$ при $t \geq T$, скорость стола равна $V = aT - a(t - T)$. Блюдце остановится относительно стола в момент времени $t_{0} = 2aT/( \mu g + a)$, когда $V = V_{b}$. При этом блюдце пройдёт по столу путь $x(t_{0}) - x_{b}(t_{0}) = aT^[2](a - \mu g)/(a + \mu g)$, который не должен превосходить $L$. Отсюда следует, что $L$ должно удовлетворять ограничению, полученному выше.
Ответ. Радиус стола должен удовлетворять условию $L \geq \frac{aT^{2} ( a - \mu g)}{a + \mu g}$.
