Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5269
2017-11-19 
В горизонтально расположенной стеклянной трубке длиной $L$ находится капля ртути массой $m$ (см. рис.). Один из концов трубки герметично закрывают и плавно раскручивают систему до угловой скорости $\omega$. Ось вращения вертикальна. Найти, в каком месте трубки расположится капля, если первоначально она находилась на расстоянии $x$ от закрытого конца. Атмосферное давление $p_{A}$, внутренний радиус трубки $R$. Считать, что размеры капли много меньше $x$, трением пренебречь.
Решение:
Обозначим $y$ — расстояние от капли до закрытого конца трубки после установления равновесия. Центростремительное ускорение обеспечивается разностью давлений на каплю изнутри и снаружи: $m \omega^{2} y = \pi R^{2}(p_{A} - p)$. Давление внутри мензурки легко найти с помощью закона Бойля-Мариотта: $p_{A}x = py$. Из этих уравнений найдём
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \alpha x}}{2 \alpha}$,
где $\alpha = m \omega^{2}/ p_{A} \pi R^{2}$. Оба корня положительны, хотя только один из них соответствует устойчивому решению. Рассмотрим функцию $F(y) = m \cdot \omega^{2} y - (p_{A} - p(y)) \cdot \pi R^{2}$. Если она больше нуля, каплю «тянет» наружу, иначе — внутрь. Поскольку $y > 0$, функция $F(y)$ имеет тот же знак, что и функция $yF(y)$, которая является параболой. Для $y = y_{1}$ ($y_{1}$ — с «плюсом») функция $F(y)$ будет положительна, и каплю «потянет» наружу. Следовательно, это положение неустойчиво; устойчивым является другой корень — $y_{2}$ (с «минусом»). Можно также заметить, что в предельном случае очень медленного вращения мензурки, $4 \alpha \cdot x \ll 1$, второй корень $y_{2} \cong x$, в то время как первый — $y_{1} \cong - x$, что, конечно, не имеет смысла. Если капля исходно находилась на оси вращения $x = 0$, то она не сдвинется с места: $y = 0$. При $0 < x < 1/4 \alpha$, капля перемещается по направлению к открытому концу мензурки, $x < y < 1/2 \alpha$, и покидает её («вытряхивается»), если вращение происходит достаточно быстро $\alpha > 1/2L$. При $L > x > 1/4 \alpha$, уравнение положения капли не имеет действительных решений. В этом случае, капля не может находится в равновесии в трубке.
Ответ. Если исходное положение капли в мензурке $x < \frac{1}{4} \frac{ \pi R^{2} p_{A}}{m \omega^{2}} < L$, то её новое положение $y = \frac{p_{A} \pi R^{2}}{2 m \omega^{2}} \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{4x m \omega^{2}}{p_{A} \pi R^{2}}} \right )$. Если угловая скорость вращения мензурки превосходит величину $\omega = (p_{A} \pi R)^{1/2} / (2mL)^{1/2}$, капля вылетает из неё наружу.
В горизонтально расположенной стеклянной трубке длиной $L$ находится капля ртути массой $m$ (см. рис.). Один из концов трубки герметично закрывают и плавно раскручивают систему до угловой скорости $\omega$. Ось вращения вертикальна. Найти, в каком месте трубки расположится капля, если первоначально она находилась на расстоянии $x$ от закрытого конца. Атмосферное давление $p_{A}$, внутренний радиус трубки $R$. Считать, что размеры капли много меньше $x$, трением пренебречь.
Решение:
Обозначим $y$ — расстояние от капли до закрытого конца трубки после установления равновесия. Центростремительное ускорение обеспечивается разностью давлений на каплю изнутри и снаружи: $m \omega^{2} y = \pi R^{2}(p_{A} - p)$. Давление внутри мензурки легко найти с помощью закона Бойля-Мариотта: $p_{A}x = py$. Из этих уравнений найдём
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \alpha x}}{2 \alpha}$,
где $\alpha = m \omega^{2}/ p_{A} \pi R^{2}$. Оба корня положительны, хотя только один из них соответствует устойчивому решению. Рассмотрим функцию $F(y) = m \cdot \omega^{2} y - (p_{A} - p(y)) \cdot \pi R^{2}$. Если она больше нуля, каплю «тянет» наружу, иначе — внутрь. Поскольку $y > 0$, функция $F(y)$ имеет тот же знак, что и функция $yF(y)$, которая является параболой. Для $y = y_{1}$ ($y_{1}$ — с «плюсом») функция $F(y)$ будет положительна, и каплю «потянет» наружу. Следовательно, это положение неустойчиво; устойчивым является другой корень — $y_{2}$ (с «минусом»). Можно также заметить, что в предельном случае очень медленного вращения мензурки, $4 \alpha \cdot x \ll 1$, второй корень $y_{2} \cong x$, в то время как первый — $y_{1} \cong - x$, что, конечно, не имеет смысла. Если капля исходно находилась на оси вращения $x = 0$, то она не сдвинется с места: $y = 0$. При $0 < x < 1/4 \alpha$, капля перемещается по направлению к открытому концу мензурки, $x < y < 1/2 \alpha$, и покидает её («вытряхивается»), если вращение происходит достаточно быстро $\alpha > 1/2L$. При $L > x > 1/4 \alpha$, уравнение положения капли не имеет действительных решений. В этом случае, капля не может находится в равновесии в трубке.
Ответ. Если исходное положение капли в мензурке $x < \frac{1}{4} \frac{ \pi R^{2} p_{A}}{m \omega^{2}} < L$, то её новое положение $y = \frac{p_{A} \pi R^{2}}{2 m \omega^{2}} \left ( 1 - \sqrt{1 - \frac{4x m \omega^{2}}{p_{A} \pi R^{2}}} \right )$. Если угловая скорость вращения мензурки превосходит величину $\omega = (p_{A} \pi R)^{1/2} / (2mL)^{1/2}$, капля вылетает из неё наружу.
