Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5267
2017-11-19 
Пловец, многократно преодолевая дистанцию длиной $L$ из A в B, (см. рис.) обнаружил, что если выбегать на берег и пробегать часть пути по земле, то можно добраться из А в В быстрее, чем если плыть напрямую. Скорости движения пловца по воде и по земле равны $V_{1}$ и $V_{2}$ соответственно. Отрезок АВ параллелен берегу. На каком расстоянии от берега могут находиться точки А и В?
Решение:
Из всех возможных траекторий движения пловца из точки A в точку B через берег нужно найти такую, чтобы пловец затрачивал наименьшее время на её преодоление, и сравнить время движения по этой траектории с $L/V_{1}$ — временем движения из A в B напрямую. В поисках оптимальной траектории достаточно рассмотреть те из них, которые симметричны относительно отрезка $OO^{ \prime}$, так как любая несимметричная траектория заведомо невыгодна. Действительно, любая несимметричная траектория, более выгодная, чем прямолинейный отрезок AB, например траектория ACDB, может быть ещё оптимизирована, например до траектории $ACC^{ \prime}B$ (точки $C$ и $C^{ \prime}$ симметричны относительно $OO^{ \prime}$).
1) Графический метод поиска экстремума. Симметричная траектория определяется одним параметром, например, $x$ или углом $\angle \alpha = \angle PAC$. Обозначим возможное расстояние от точек A и B до берега за $s$. Время движения по отрезку AC (и $AC^{ \prime}$) составляет $t_{1} = AC/V_{1} = s/V_{1} \cos \alpha$, а время движения по отрезку $CC^{ \prime} - t_{2} = CC^{ \prime}/V_{2} = (L - s \cdot tg \alpha )/V_{2}$. На берег забегать выгодно, когда
$L/V_{1} > 2 \cdot s/V_{1} \cdot \cos \alpha + (L - 2s \cdot tg \alpha )/V_{2}$.
Неравенство должно выполняться хотя бы при одном значении a, когда траектория $ACC^{ \prime}B$ — самая оптимальная (когда правая часть неравенства минимальна). При выборе таковой можно воспользоваться оптической аналогией, вспомнив, что из всех возможных траекторий свет выбирает наикратчайшую, наиболее выгодную по времени: наиболее выгодным для пловца окажется двигаться, следуя ходу луча, испытывающего преломление при переходе границы разделения оптических сред с различными показателями преломления, $n_{1} = c/V_{1}$ и $n_{2} = c/V_{2}$. Случай, когда пловец бежит вдоль берега, соответствует явлению полного внутреннего отражения: $\sin \alpha = n_{2}/n_{1} = V_{1} /V_{2}$. Последнее соотношение позволяет выразить тригонометрические функции угла через скорости пловца в воде и на суше и подставить их в верхнее неравенство:
$s < \frac{L \sqrt{V_{2} - V_{1}}}{ 2 \sqrt{V_{2} + V_{1}}}$.
Если расстояние до берега превосходит найденную величину, то выбегать на берег, в любом случае, невыгодно.
2) Аналитический метод поиска экстремума. Мы параметризовали возможные траектории пловца переменной $x$. В этом случае исследуемое на экстремум неравенство, представится в следующем виде:
$x^{2} \left ( \frac{V_{1}^{2}}{V_{2}^{2}} - 1 \right ) + Lx \frac{V_{1}}{V_{2}} + l^{2} \left ( 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}} \right )^{2} > s^{2} $.
Можно искать минимум левой части этого неравенства, дифференцируя его по $x$ и затем приравнивая производную нулю, но проще выяснить, когда дискриминант неравенства положителен (только в этом случае неравенство имеет решение). Этот путь также приводит к ответу, полученному при использовании оптической аналогии.
Ответ. Выбегать на берег может быть выгодно, если до него не слишком далеко.
Пловец, многократно преодолевая дистанцию длиной $L$ из A в B, (см. рис.) обнаружил, что если выбегать на берег и пробегать часть пути по земле, то можно добраться из А в В быстрее, чем если плыть напрямую. Скорости движения пловца по воде и по земле равны $V_{1}$ и $V_{2}$ соответственно. Отрезок АВ параллелен берегу. На каком расстоянии от берега могут находиться точки А и В?
Решение:
Из всех возможных траекторий движения пловца из точки A в точку B через берег нужно найти такую, чтобы пловец затрачивал наименьшее время на её преодоление, и сравнить время движения по этой траектории с $L/V_{1}$ — временем движения из A в B напрямую. В поисках оптимальной траектории достаточно рассмотреть те из них, которые симметричны относительно отрезка $OO^{ \prime}$, так как любая несимметричная траектория заведомо невыгодна. Действительно, любая несимметричная траектория, более выгодная, чем прямолинейный отрезок AB, например траектория ACDB, может быть ещё оптимизирована, например до траектории $ACC^{ \prime}B$ (точки $C$ и $C^{ \prime}$ симметричны относительно $OO^{ \prime}$).
1) Графический метод поиска экстремума. Симметричная траектория определяется одним параметром, например, $x$ или углом $\angle \alpha = \angle PAC$. Обозначим возможное расстояние от точек A и B до берега за $s$. Время движения по отрезку AC (и $AC^{ \prime}$) составляет $t_{1} = AC/V_{1} = s/V_{1} \cos \alpha$, а время движения по отрезку $CC^{ \prime} - t_{2} = CC^{ \prime}/V_{2} = (L - s \cdot tg \alpha )/V_{2}$. На берег забегать выгодно, когда
$L/V_{1} > 2 \cdot s/V_{1} \cdot \cos \alpha + (L - 2s \cdot tg \alpha )/V_{2}$.
Неравенство должно выполняться хотя бы при одном значении a, когда траектория $ACC^{ \prime}B$ — самая оптимальная (когда правая часть неравенства минимальна). При выборе таковой можно воспользоваться оптической аналогией, вспомнив, что из всех возможных траекторий свет выбирает наикратчайшую, наиболее выгодную по времени: наиболее выгодным для пловца окажется двигаться, следуя ходу луча, испытывающего преломление при переходе границы разделения оптических сред с различными показателями преломления, $n_{1} = c/V_{1}$ и $n_{2} = c/V_{2}$. Случай, когда пловец бежит вдоль берега, соответствует явлению полного внутреннего отражения: $\sin \alpha = n_{2}/n_{1} = V_{1} /V_{2}$. Последнее соотношение позволяет выразить тригонометрические функции угла через скорости пловца в воде и на суше и подставить их в верхнее неравенство:
$s < \frac{L \sqrt{V_{2} - V_{1}}}{ 2 \sqrt{V_{2} + V_{1}}}$.
Если расстояние до берега превосходит найденную величину, то выбегать на берег, в любом случае, невыгодно.
2) Аналитический метод поиска экстремума. Мы параметризовали возможные траектории пловца переменной $x$. В этом случае исследуемое на экстремум неравенство, представится в следующем виде:
$x^{2} \left ( \frac{V_{1}^{2}}{V_{2}^{2}} - 1 \right ) + Lx \frac{V_{1}}{V_{2}} + l^{2} \left ( 1 - \frac{V_{1}}{V_{2}} \right )^{2} > s^{2} $.
Можно искать минимум левой части этого неравенства, дифференцируя его по $x$ и затем приравнивая производную нулю, но проще выяснить, когда дискриминант неравенства положителен (только в этом случае неравенство имеет решение). Этот путь также приводит к ответу, полученному при использовании оптической аналогии.
Ответ. Выбегать на берег может быть выгодно, если до него не слишком далеко.
